ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Разбор — 1 балл

По теореме о вписанном угле угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол $ABD$ опирается на дугу $AD$ (не содержащую точку $B$), поэтому эта дуга равна

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{AD}}=2\angle ABD=2\cdot 56^{\circ }=112^{\circ }.$$

Угол $CAD$ опирается на дугу $CD$ (не содержащую точку $A$), значит,

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}=2\angle CAD=2\cdot 38^{\circ }=76^{\circ }.$$

Дуги $AD$ и $CD$ прилегают друг к другу в точке $D$ и в сумме образуют дугу $CDA$, лежащую по другую сторону хорды $AC$ от точки $B$:

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{CDA}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{AD}}+\stackrel{⌣}{\mathrm{CD}}=112^{\circ }+76^{\circ }=188^{\circ }.$$

Угол $ABC$ — вписанный угол, опирающийся на эту дугу $CDA$. Поэтому

$$\angle ABC=\frac{188^{\circ }}{2}=94^{\circ }.$$

Ответ: $94$.