ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Разбор — 1 балл

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности, поэтому точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой, а точки $B$, $O$, $D$ — на другой. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ образованы пересечением этих двух прямых и расположены друг против друга, то есть они вертикальные:

$$\angle BOC=\angle AOD=74^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Отрезки $OB$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому $OB=OC$, и треугольник равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB.$$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }$, значит,

$$\angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle OCB=\frac{180^{\circ }-\angle BOC}{2}=\frac{180^{\circ }-74^{\circ }}{2}=\frac{106^{\circ }}{2}=53^{\circ }.$$

Точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому луч $CO$ совпадает с лучом $CA$, а значит, угол $ACB$ — это и есть найденный угол $OCB$:

$$\angle ACB=53^{\circ }.$$

Ответ: $53$.