ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — площадь и периметр

Разбор — 1 балл

Обозначим стороны прямоугольника $AB$ и $BC$, а диагональ — $AC$.

Периметр прямоугольника равен сумме всех его сторон, а противоположные стороны у прямоугольника равны, поэтому

$$2AB+2BC=14,AB+BC=7.$$

Стороны $AB$, $BC$ и диагональ $AC$ образуют прямоугольный треугольник, значит, по теореме Пифагора

$$A{B}^2+B{C}^2=A{C}^2.$$

Воспользуемся формулой квадрата суммы:

$$(AB+BC{)}^2=A{B}^2+2\cdot AB\cdot BC+B{C}^2,$$

откуда

$$A{B}^2+B{C}^2=(AB+BC{)}^2-2\cdot AB\cdot BC.$$

Подставим это выражение в равенство из теоремы Пифагора и учтём, что произведение $AB\cdot BC$ — это площадь $S$ прямоугольника:

$$(AB+BC{)}^2-2S=A{C}^2,S=\frac{(AB+BC{)}^2-A{C}^2}{2}.$$

Подставим числа:

$$S=\frac{7^2-6^2}{2}=\frac{49-36}{2}=\frac{13}{2}=6,5.$$

Ответ: $6,5$.