ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — площадь и периметр

Средняя линия $DE$ треугольника $ABC$ параллельна стороне $AB$ и равна её половине:

$$DE\parallel AB,DE=\frac{1}{2}AB.$$

Так как $DE\parallel AB$, треугольник $CDE$ подобен треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия:

$$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\Rightarrow S_{CDE}=\frac{1}{4}{S}_{ABC}.$$

Трапеция $ABED$ получается из треугольника $ABC$, если вырезать из него треугольник $CDE$, поэтому

$$S_{ABED}=S_{ABC}-S_{CDE}=S_{ABC}-\frac{1}{4}{S}_{ABC}=\frac{3}{4}{S}_{ABC}.$$

По условию $S_{ABED}=36$, значит,

$$S_{ABC}=\frac{4}{3}{S}_{ABED}=\frac{4\cdot 36}{3}=48.$$

Ответ: $48$.