ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

В прямоугольном треугольнике биссектриса делит прямой угол пополам, поэтому

$$\angle BCD=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $BCH$: угол $H$ прямой, так как $CH$ — высота, опущенная на гипотенузу, поэтому два острых угла этого треугольника в сумме дают $90^{\circ }$:

$$\angle BCH=90^{\circ }-\angle B=90^{\circ }-25^{\circ }=65^{\circ }.$$

Углы $BCD$ и $BCH$ отложены от одной стороны $CB$, причём $\angle BCD=45^{\circ }<\angle BCH=65^{\circ }$, значит, луч $CD$ лежит внутри угла $BCH$. Искомый угол между высотой и биссектрисой равен разности этих углов:

$$\angle HCD=\angle BCH-\angle BCD=65^{\circ }-45^{\circ }=20^{\circ }.$$

Ответ: $20$.