ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

Обозначим трапецию $ABCD$, где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Продолжим боковые стороны до точки их пересечения $O$: по условию прямые, содержащие боковые стороны, пересекаются под углом $60^{\circ }$, то есть $\angle AOD=60^{\circ }$.

Трапеция равнобедренная, поэтому углы при большем основании равны: $\angle BAD=\angle CDA$. Значит, в треугольнике $AOD$ равны и углы при основании $AD$, а так как они в сумме с углом $60^{\circ }$ при вершине $O$ дают $180^{\circ }$, каждый из них равен $60^{\circ }$. Треугольник, у которого все три угла по $60^{\circ }$, — равносторонний, поэтому

$$AO=OD=AD=40.$$

Точка $B$ лежит на отрезке $AO$ между $A$ и $O$, поэтому

$$OB=AO-AB=40-2=38.$$

Так как $BC\parallel AD$, треугольник $BOC$ подобен треугольнику $AOD$ с тем же углом $60^{\circ }$ при общей вершине $O$, значит, он тоже равносторонний: $OB=OC=BC$. Отсюда меньшее основание

$$BC=OB=38.$$

Ответ: $38$.