ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Рассмотрим треугольник, вписанный в данную окружность, с тупым углом при вершине, противолежащей хорде длиной $3\sqrt{2}$. По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:

$$\frac{a}{\sin \alpha }=2R,$$

где $a$ — хорда, $\alpha$ — вписанный угол, опирающийся на неё, $R$ — радиус окружности. Выразим синус угла:

$$\sin \alpha =\frac{a}{2R}=\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}.$$

Упростим дробь:

$$\frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Значению $\sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$ соответствуют два угла: острый $60^{\circ }$ и тупой $120^{\circ }$. Так как по условию угол тупой,

$$\alpha =120^{\circ }.$$

Ответ: $120$.