ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — углы фигуры

Разбор — 1 балл

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы, поэтому она делит гипотенузу на два отрезка, равных этой медиане:

$$CM=AM=BM.$$

В треугольнике $CBM$ стороны $CM$ и $BM$ равны, значит, он равнобедренный с основанием $CB$, и углы при этом основании равны:

$$\angle BCM=\angle MBC=\angle B=8^{\circ }.$$

Биссектриса $CD$ делит прямой угол $C$ пополам, поэтому

$$\angle BCD=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }.$$

Углы $BCM$ и $BCD$ отложены от одной стороны $CB$, причём $\angle BCM=8^{\circ }<\angle BCD=45^{\circ }$, значит, луч $CM$ лежит внутри угла $BCD$. Искомый угол между биссектрисой и медианой равен разности этих углов:

$$\angle MCD=\angle BCD-\angle BCM=45^{\circ }-8^{\circ }=37^{\circ }.$$

Ответ: $37$.