ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №1 — вписанный и центральный углы

Так как $AC$ — диаметр, точка $O$ лежит на отрезке $AC$, поэтому $\angle OCB=\angle ACB=67^{\circ }$. Отрезки $OB$ и $OC$ — радиусы окружности, значит, они равны, и треугольник $BOC$ равнобедренный с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

$$\angle OBC=\angle OCB=67^{\circ }.$$

Сумма углов треугольника $BOC$ равна $180^{\circ }$, значит,

$$\angle BOC=180^{\circ }-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ }-67^{\circ }-67^{\circ }=46^{\circ }.$$

Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, поэтому углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные и равны:

$$\angle AOD=\angle BOC=46^{\circ }.$$

Ответ: $46$.