ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Разбор — 1 балл

Значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной в этой точке — таков геометрический смысл производной. Угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла, который она образует с осью $Ox$.

По рисунку выберем на касательной две точки с удобными целыми координатами: $A(3;-3)$ и $B(-5;7)$.

Функция убывает в окрестности точки $x_0$, поэтому введём вспомогательную точку $C(-5;-3)$: треугольник $ABC$ получается прямоугольным с прямым углом в вершине $C$, а его катеты равны

$$AC=3-(-5)=8,BC=7-(-3)=10.$$

Угловой коэффициент убывающей касательной равен тангенсу угла наклона, взятому со знаком минус:

$$f^{\prime }(x_0)=-\frac{BC}{AC}=-\frac{10}{8}=-1,25.$$

Ответ: $-1,25$.