ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — геометрический смысл производной

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

Как решать №9

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№9 Геометрический смысл производной средняя

Прямая $y = 3 x + 1$ является касательной к графику функции

$y = a x^{2} + 2 x + 3.$

Найдите $a$ .

Разбор — 1 балл

Пусть $x_{0}$ — абсцисса точки касания. Угловой коэффициент прямой $y = 3 x + 1$ равен $3$ .

$f (x) = a x^{2} + 2 x + 3, f^{'} (x) = 2 a x + 2.$

В точке касания:

$2 a x_{0} + 2 = 3 \Leftrightarrow a x_{0} = \frac{1}{2} .$

Точка касания принадлежит и параболе, и прямой:

$a x_{0}^{2} + 2 x_{0} + 3 = 3 x_{0} + 1 \Leftrightarrow a x_{0}^{2} - x_{0} + 2 = 0.$

Заметим, что $a x_{0}^{2} = x_{0} \cdot a x_{0} = \frac{x _{0}}{2}$ . Подставим:

$\frac{x _{0}}{2} - x_{0} + 2 = 0 \Leftrightarrow x_{0} = 4.$

Из равенства $a x_{0} = \frac{1}{2}$ находим:

$4 a = \frac{1}{2} \Leftrightarrow a = \frac{1}{8} = 0, 125.$

Ответ: $0, 125$ .

Ещё задания №9

9-0KHE, лёгкая

На рисунке изображён график функции $y = f (x)$ . На оси абсцисс отмечено восемь точек: $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ , $x_{4}$ , $x_{5}$ , $x_{6}$ , $x_{7}$ , $x_{8}$ . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции $f (x)$ положительна.

9-14E0, средняя

Прямая $y = - 5 x + 14$ является касательной к графику функции $y = x^{3} + 3 x^{2} - 2 x + 15$ . Найдите абсциссу точки касания.

9-18ZW, лёгкая

На рисунке изображён график функции $y = f (x),$ определённой на интервале $(- 10; 3) .$ Найдите количество решений уравнения $f^{'} (x) = 0$ на отрезке $[- 7; 2] .$

Как решать №9 Решать дальше №9