ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Разбор — 1 балл

Найдём производную функции $y=x^3+5x^2-3x+6$:

$$y^{\prime }(x)=3x^2+10x-3.$$

Угловой коэффициент прямой $y=-6x+15$ равен $-6$. В точке касания $x_0$ угловой коэффициент касательной совпадает с ним:

$$3x_0^2+10x_0-3=-6\iff 3x_0^2+10x_0+3=0.$$

Найдём дискриминант: $D=100-36=64=8^2$. Корни уравнения:

$$x_0=\frac{-10+8}{6}=-\frac{1}{3},x_0=\frac{-10-8}{6}=-3.$$

В обеих точках касательная параллельна данной прямой, но совпадает с ней только там, где значение функции равно значению прямой. Проверим $x_0=-3$:

$$y(-3)=-27+45+9+6=33,-6\cdot (-3)+15=18+15=33.$$

Значения совпали — эта точка подходит.

Проверим $x_0=-\frac{1}{3}$:

$$y\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{27}+\frac{5}{9}+1+6\approx 7,52,-6\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+15=17.$$

Значения не совпадают, значит, в этой точке прямая только параллельна касательной. Абсцисса точки касания равна $-3$.

Ответ: $-3$.