ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — геометрический смысл производной

Разбор — 1 балл

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Чтобы прямая $y=-4x-11$ была касательной к графику функции $f(x)=x^3+7x^2+7x-6$ в точке $x_0$, должны одновременно выполняться два условия: угловой коэффициент прямой равен производной функции в этой точке, а сама точка лежит и на прямой, и на графике:

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x_0)=-4,\\ f(x_0)=-4x_0-11.\end{array}$$

Найдём производную: $f^{\prime }(x)=3x^2+14x+7$. Решим первое уравнение:

$$3x_0^2+14x_0+7=-4\iff 3x_0^2+14x_0+11=0\iff (3x_0+11)(x_0+1)=0.$$

Отсюда $x_0=-\frac{11}{3}$ или $x_0=-1$ — в обеих точках касательная параллельна данной прямой, но неизвестно, в какой из них она совпадает с ней.

Проверим второе условие при $x_0=-1$:

$$f(-1)=-1+7-7-6=-7,-4\cdot (-1)-11=4-11=-7.$$

Значения совпали, значит, эта точка подходит.

При $x_0=-\frac{11}{3}$ значения функции и прямой не совпадают — там прямая лишь параллельна касательной, но не является ею. Значит, абсцисса точки касания равна $-1$.

Ответ: $-1$.