ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания. Угловой коэффициент касательной в этой точке равен значению производной функции, а сама точка одновременно лежит и на прямой, и на параболе:

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x_0)=5,\\ f(x_0)=5x_0-8.\end{array}$$

Для функции $f(x)=6x^2+bx+16$ производная равна $f^{\prime }(x)=12x+b$. Подставим данные в систему:

$$\{\begin{array}{l}12x_0+b=5,\\ 6x_0^2+b{x}_0+16=5x_0-8.\end{array}$$

Из первого уравнения $b=5-12x_0$. Подставим во второе:

$$6x_0^2+(5-12x_0)x_0+16=5x_0-8,$$

$$-6x_0^2+16=-8,$$

$$x_0^2=4,x_0=\pm 2.$$

По условию абсцисса точки касания больше $0$, значит, $x_0=2$, и

$$b=5-12\cdot 2=-19.$$

Ответ: $-19$.