ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — геометрический смысл производной

Разбор — 1 балл

Пусть $x_0$ — абсцисса точки касания; по условию $x_0>0$. Угловой коэффициент касательной $y=-5x+8$ равен $-5$, а функция $f(x)=28x^2+bx+15$ имеет производную

$$f^{\prime }(x)=56x+b.$$

Так как производная в точке касания равна угловому коэффициенту прямой:

$$56x_0+b=-5\Rightarrow b=-5-56x_0.$$

Точка касания лежит и на графике функции, и на прямой:

$$28x_0^2+b{x}_0+15=-5x_0+8.$$

Подставим выражение для $b$:

$$28x_0^2+(-5-56x_0)x_0+15=-5x_0+8,$$

$$28x_0^2-5x_0-56x_0^2+15=-5x_0+8,$$

$$-28x_0^2+15=8,$$

$$28x_0^2=7,$$

$$x_0^2=\frac{1}{4}.$$

Так как $x_0>0$, получаем $x_0=\frac{1}{2}$. Тогда

$$b=-5-56\cdot \frac{1}{2}=-5-28=-33.$$

Ответ: $-33$.