ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — геометрический смысл производной

Разбор — 1 балл

Прямая $y=kx+l$ касается графика функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда выполняется система:

$$\{\begin{array}{l}{f}^{\prime }(x_0)=k,\\ f(x_0)=k{x}_0+l.\end{array}$$

Здесь $f(x)=x^2+bx+6$, прямая $y=-8x-3$, то есть $k=-8$, $l=-3$. Производная $f^{\prime }(x)=2x+b$, поэтому первое условие даёт:

$$2x_0+b=-8\Rightarrow b=-8-2x_0.$$

Подставим это выражение во второе условие:

$$x_0^2+(-8-2x_0)x_0+6=-8x_0-3.$$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$x_0^2-8x_0-2x_0^2+6=-8x_0-3,$$

$$-x_0^2+6=-3,$$

$$x_0^2=9.$$

По условию абсцисса точки касания отрицательна, значит, $x_0=-3$. Тогда

$$b=-8-2x_0=-8-2\cdot (-3)=-8+6=-2.$$

Ответ: $-2$.