ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, то есть тангенсу угла $\alpha$, который она образует с положительным направлением оси $Ox$ (геометрический смысл производной). Проведём касательную через начало координат и точку графика с абсциссой $x_0=5$.

Касательная идёт вниз, поэтому угол $\alpha$ тупой, и удобнее работать со смежным острым углом — рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, построенный на касательной. Из этого треугольника по катетам, которые легко снять с рисунка, находим

$$\mathrm{tg}\angle A=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}=0,4.$$

Угол $\alpha$ смежен с углом $A$, а тангенсы смежных углов отличаются только знаком, поэтому

$$f^{\prime }(x_0)=\mathrm{tg}\alpha =-\mathrm{tg}\angle A=-0,4.$$

Ответ: $-0,4$.