ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №9 — значение производной

Разбор — 1 балл

Прямая $y=kx+l$ является касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен производной функции в этой точке, а точка касания лежит и на графике, и на прямой:

$$\{\begin{array}{l}k=f^{\prime }(x_0),\\ f(x_0)=k{x}_0+l.\end{array}$$

Здесь $f(x)=a{x}^2+21x-2$, а прямая $y=7-9x$ задаёт $k=-9$, $l=7$. Найдём производную:

$$f^{\prime }(x)=2ax+21.$$

Подставим данные в систему:

$$\{\begin{array}{l}2a{x}_0+21=-9,\\ a{x}_0^2+21x_0-2=7-9x_0.\end{array}$$

Из первого уравнения выразим $x_0$:

$$2a{x}_0=-30\Rightarrow x_0=-\frac{15}{a}.$$

Второе уравнение перепишем в виде $a{x}_0^2+30x_0-9=0$ и подставим в него найденное выражение для $x_0$:

$$a\cdot {\left(-\frac{15}{a}\right)}^2+30\cdot \left(-\frac{15}{a}\right)-9=0,$$

$$\frac{225}{a}-\frac{450}{a}-9=0,$$

$$-\frac{225}{a}=9.$$

Отсюда

$$a=-\frac{225}{9}=-25.$$

Ответ: $-25$.