В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты сложная 2024

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 1050 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 1050 тыс. рублей;

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

На сколько рублей последняя выплата будет больше первой?

Разбор — 1 балл

Обозначим $S = 1050$ тыс. рублей — сумму кредита (взят в июле 2026 года на пять лет), $x$ тыс. рублей — равный платёж в 2030 и 2031 годах (все вычисления ведём в тысячах рублей).

По условию в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным $1050$ тыс. рублей. Значит, в каждом из этих трёх лет платёж погашает только проценты, начисленные за год, а сам долг не уменьшается:

$Дата Июль 2026 Июль 2027 Июль 2028 Июль 2029 Долг до % 1050105010501050 Долг после % 1, 1 \cdot 1050 1, 1 \cdot 1050 1, 1 \cdot 1050 Платёж 0, 1 \cdot 1050 0, 1 \cdot 1050 0, 1 \cdot 1050$

Первый платёж (в 2027 году) равен $0, 1 \cdot 1050 = 105$ тыс. рублей.

Начиная с 2030 года схема погашения меняется: платежи в 2030 и 2031 годах равны между собой и составляют $x$ тыс. рублей, а к июлю 2031 года долг должен стать нулевым:

$Дата Июль 2029 Июль 2030 Июль 2031 Долг до % 10501050 1, 1 \cdot 1050 - x Долг после % 1, 1 \cdot 1050 1, 1 (1, 1 \cdot 1050 - x) Платёж x x$

После платежа 2031 года долг равен нулю:

$1, 1 (1, 1 \cdot 1050 - x) - x = 0,$

$1, 1^{2} \cdot 1050 - (1, 1 + 1) x = 0,$

$x = \frac{1 , 1 ^{2} \cdot 1050}{2 , 1} = \frac{1270 , 5}{2 , 1} = 605 тыс . рублей .$

Это и есть последняя выплата — она вносится в 2031 году. Первая выплата (в 2027 году) равна $105$ тыс. рублей. Разница между последней и первой выплатой составляет

$605 - 105 = 500 тыс . рублей = 500000 рублей .$

Ответ: $500000$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13