В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 5… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты сложная 2024

В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 17% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 650 тысяч рублей? Ответ дайте в рублях.

Разбор — 1 балл

Пусть кредит взят на $n$ лет, $S = 5$ млн рублей. Долг гасится дифференцированно, поэтому каждый год он уменьшается на $\frac{S}{n}$ . Составим таблицу (года́ пронумеруем по порядку, так как конкретный год в условии не указан):

$Год 1- й 2- й \dots n- й Долг S \frac{n - 1}{n} S \dots \frac{S}{n} Проценты 0, 17 S 0, 17 \cdot \frac{n - 1}{n} S \dots 0, 17 \cdot \frac{S}{n} Платёж 0, 17 S + \frac{S}{n} 0, 17 \cdot \frac{n - 1}{n} S + \frac{S}{n} \dots 0, 17 \cdot \frac{S}{n} + \frac{S}{n}$

В платеже каждого года слагаемое $\frac{S}{n}$ одинаково, а слагаемое с процентами тем меньше, чем меньше долг, с которого эти проценты считаются. Долг перед начислением процентов уменьшается от года к году, значит, самый маленький платёж — последний, $n$ -й:

$0, 17 \cdot \frac{S}{n} + \frac{S}{n} = \frac{S}{n} \cdot 1, 17.$

По условию этот платёж равен $650$ тыс. рублей, то есть $0, 65$ млн рублей:

$\frac{5}{n} \cdot 1, 17 = 0, 65,$

$n = \frac{5 \cdot 1 , 17}{0 , 65} = \frac{5 , 85}{0 , 65} = 9.$

Теперь найдём общую сумму всех выплат. Часть $\frac{S}{n}$ повторяется $n$ раз и в сумме даёт $S$ , а проценты по годам образуют убывающую арифметическую прогрессию с суммой $0, 17 S \cdot \frac{n + 1}{2}$ (как в задачах с равномерным уменьшением долга). Тогда

$Σ = S + 0, 17 S \cdot \frac{n + 1}{2} = 5 + 0, 17 \cdot 5 \cdot \frac{10}{2} = 5 + 0, 17 \cdot 25 = 5 + 4, 25 = 9, 25 млн рублей .$

В рублях это $9250000$ .

Ответ: $9250000$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13