ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты средняя

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо оплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 375000 рублей?

Разбор — 1 балл

Обозначим сумму кредита $S$ рублей, платёж в 2026, 2027, 2028 и 2029 годах — $x$ рублей (кредит взят в июле 2025 года), $k = 1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ .

Из общей суммы выплат находим платёж: $4 x = 375000$ , то есть $x = 93750$ рублей.

$Год 20262027 \dots 2029 Долг до % S k S - x \dots \dots Долг после % k S k^{2} S - k x \dots \dots Платёж x x x x Долг после платежа k S - x k^{2} S - k x - x \dots 0$

После четвёртого платежа долг равен нулю:

$k^{4} S - k^{3} x - k^{2} x - k x - x = 0 \Rightarrow k^{4} S = x (k^{3} + k^{2} + k + 1) .$

Свернём сумму в скобках по формуле суммы геометрической прогрессии и выразим $S$ :

$k^{3} + k^{2} + k + 1 = \frac{k ^{4} - 1}{k - 1} \Rightarrow S = \frac{x ( k ^{4} - 1 )}{k ^{4} ( k - 1 )} .$

Подставим $k = \frac{5}{4}$ :

$S = x \cdot \frac{\frac{5 ^{4}}{4 ^{4}} - 1}{\frac{5 ^{4}}{4 ^{4}} \cdot \frac{1}{4}} = x \cdot \frac{5 ^{4} - 4 ^{4}}{5 ^{4}} \cdot 4 = x \cdot \frac{4 \cdot 369}{625} = x \cdot \frac{1476}{625} .$

Так как $93750 : 625 = 150$ , получаем

$S = 150 \cdot 1476 = 221400 рублей .$

Ответ: $221400$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-1A7W, средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

13-54CG, средняя

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Как решать №13 Решать дальше №13