15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму A млн… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты средняя 2025

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму $A$ млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2028 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тыс. рублей?

Разбор — 1 балл

Ставка известна — $3%$ в месяц, обозначим $k = \frac{3}{100}$ . Кредит на $A$ млн рублей гасится дифференцированно за $24$ месяца, поэтому долг каждый месяц уменьшается на $\frac{A}{24}$ млн рублей.

Кредит выдан 15 декабря 2026 года, значит, месяц 1 — январь 2027 года, а 2028 год — это месяцы с 13-го по 24-й. Составим таблицу (всё — в млн рублей):

$Месяц 1 \dots 13 (янв . 2028) \dots 24 (дек . 2028) Долг до % A \dots \frac{12 A}{24} \dots \frac{A}{24} Долг после % A + k A \dots \frac{12 A}{24} + k \cdot \frac{12 A}{24} \dots \frac{A}{24} + k \cdot \frac{A}{24} Платёж \frac{A}{24} + k A \dots \frac{A}{24} + k \cdot \frac{12 A}{24} \dots \frac{A}{24} + k \cdot \frac{A}{24} Долг после платежа \frac{23 A}{24} \dots \frac{11 A}{24} \dots 0$

Долг перед начислением процентов уменьшается равномерно, поэтому платежи образуют арифметическую прогрессию. Сумма 12 платежей 2028 года (месяцы 13–24) равна полусумме первого и последнего из них, умноженной на 12:

$Σ = \frac{( \frac{A}{24} + k \cdot \frac{12 A}{24} ) + ( \frac{A}{24} + k \cdot \frac{A}{24} )}{2} \cdot 12 = \frac{A}{2} + k \cdot \frac{13 A}{4} .$

Подставим $k = \frac{3}{100}$ и приравняем сумму к $17, 925$ млн рублей:

$\frac{A}{2} + \frac{3}{100} \cdot \frac{13 A}{4} = 17, 925.$

Умножим обе части на $400$ :

$200 A + 39 A = 7170,$

$239 A = 7170,$

$A = 30.$

Ответ: $30$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13