ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты средняя 2025

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторое целое число лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 24,5 млн рублей?

Разбор — 1 балл

Пусть кредит взят на $n$ лет, $S = 14$ млн рублей. Долг гасится дифференцированно, поэтому за $n$ лет он уменьшается равномерно — каждый год на $\frac{S}{n}$ . Значит, перед январским начислением в $k$ -м году долг равен $\frac{n - k + 1}{n} S$ .

Составим таблицу (года́ нумеруем по порядку, так как конкретные даты в условии не указаны):

$Год 1- й 2- й \dots n- й Долг S \frac{n - 1}{n} S \dots \frac{S}{n} Проценты 0, 25 S 0, 25 \cdot \frac{n - 1}{n} S \dots 0, 25 \cdot \frac{S}{n} Платёж 0, 25 S + \frac{S}{n} 0, 25 \cdot \frac{n - 1}{n} S + \frac{S}{n} \dots 0, 25 \cdot \frac{S}{n} + \frac{S}{n}$

Сложим все платежи. Часть $\frac{S}{n}$ повторяется $n$ раз и в сумме даёт $S$ . Проценты по годам равны $0, 25 S, 0, 25 S \cdot \frac{n - 1}{n}, \dots, 0, 25 S \cdot \frac{1}{n}$ — это арифметическая прогрессия, сумма которой равна

$0, 25 S \cdot \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} \cdot n = 0, 25 S \cdot \frac{n + 1}{2} .$

Тогда общая сумма выплат равна

$S + 0, 25 S \cdot \frac{n + 1}{2} .$

По условию она равна $24, 5$ млн рублей, а $S = 14$ :

$14 + 0, 25 \cdot 14 \cdot \frac{n + 1}{2} = 24, 5,$

$1, 75 (n + 1) = 10, 5,$

$n + 1 = 6, n = 5.$

Ответ: $5$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-1A7W, средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

13-54CG, средняя

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Как решать №13 Решать дальше №13