15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A млн рублей… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты средняя 2025

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером $A$ млн рублей на срок 60 месяцев. Условия возврата кредита таковы:

— 1 числа каждого месяца сумма долга возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $A,$ если общая сумма платежей в 2027 году составит 2508 тыс. рублей? Ответ дайте в рублях.

Разбор — 1 балл

Ставка известна — $2%$ в месяц, обозначим $k = \frac{2}{100}$ . Кредит на $A$ млн рублей гасится дифференцированно за $60$ месяцев, значит, долг каждый месяц уменьшается на $\frac{A}{60}$ млн рублей.

Кредит выдан 15 декабря 2026 года, поэтому месяц 1 — январь 2027 года, а весь 2027 год — месяцы с 1-го по 12-й. Составим таблицу (всё — в млн рублей):

$Месяц 1 \dots 12 \dots 60 Долг до % A \dots \frac{49 A}{60} \dots \frac{A}{60} Долг после % A + k A \dots \frac{49 A}{60} + k \cdot \frac{49 A}{60} \dots \frac{A}{60} + k \cdot \frac{A}{60} Платёж \frac{A}{60} + k A \dots \frac{A}{60} + k \cdot \frac{49 A}{60} \dots \frac{A}{60} + k \cdot \frac{A}{60} Долг после платежа \frac{59 A}{60} \dots \frac{48 A}{60} \dots 0$

Долг перед начислением процентов уменьшается на одну и ту же величину $\frac{A}{60}$ каждый месяц, поэтому платежи образуют арифметическую прогрессию. Сумма платежей за 2027 год (месяцы 1–12) равна полусумме первого и двенадцатого платежа, умноженной на 12:

$Σ = \frac{( \frac{A}{60} + k A ) + ( \frac{A}{60} + k \cdot \frac{49 A}{60} )}{2} \cdot 12 = \frac{A}{5} + k \cdot \frac{109 A}{10} .$

Подставим $k = \frac{2}{100}$ и приравняем сумму к $2, 508$ млн рублей:

$\frac{A}{5} + \frac{2}{100} \cdot \frac{109 A}{10} = 2, 508.$

Умножим обе части на $1000$ :

$200 A + 218 A = 2508,$

$418 A = 2508,$

$A = 6.$

Значит, $A = 6$ млн рублей, то есть $6000000$ рублей.

Ответ: $6000000$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13