ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Задача из открытого банка ФИПИ с ответом и разбором. Введи ответ — проверим сразу.

1 балл на ЕГЭ 1 часть экзамена

№13 Кредиты сложная 2025

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 12 млн рублей на 48 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2030 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2030 году составила 3195 тыс. рублей?

Разбор — 1 балл

Кредит на $12$ млн рублей гасится дифференцированно за $48$ месяцев, поэтому долг каждый месяц уменьшается на $\frac{12}{48} = 0, 25$ млн рублей. Обозначим $k = \frac{r}{100}$ .

Кредит выдан 15 декабря 2026 года, значит, месяц 1 — январь 2027 года, а месяц 48 — декабрь 2030 года: 2030 год — это месяцы с 37-го по 48-й. Составим таблицу (всё — в млн рублей):

$Месяц 1 \dots 37 (янв . 2030) \dots 48 (дек . 2030) Долг до % 12 \dots 3 \dots 0, 25 Долг после % 12 + 12 k \dots 3 + 3 k \dots 0, 25 + 0, 25 k Платёж 12 k + 0, 25 \dots 3 k + 0, 25 \dots 0, 25 k + 0, 25 Долг после платежа \frac{47}{48} \cdot 12 \dots \frac{11}{48} \cdot 12 \dots 0$

Долг перед начислением процентов каждый месяц уменьшается на одну и ту же величину, поэтому платежи образуют арифметическую прогрессию. Сумма 12 платежей за 2030 год (месяцы 37–48) равна полусумме первого ( $3 k + 0, 25$ ) и последнего ( $0, 25 k + 0, 25$ ) платежа, умноженной на 12:

$Σ = \frac{( 3 k + 0 , 25 ) + ( 0 , 25 k + 0 , 25 )}{2} \cdot 12 = (1, 625 k + 0, 25) \cdot 12 = 19, 5 k + 3.$

Подставим $k = \frac{r}{100}$ :

$Σ = \frac{39 r}{200} + 3.$

По условию $Σ = 3, 195$ млн рублей:

$\frac{39 r}{200} + 3 = 3, 195,$

$\frac{39 r}{200} = 0, 195,$

$r = \frac{0 , 195 \cdot 200}{39} = 1.$

Ответ: $1$ .

Ещё задания №13

13-0T94, средняя

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

13-1A7W, средняя

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей планируется взять в банке, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года) и банку будет выплачено 292820 рублей?

13-54CG, средняя

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 177 120 рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Как решать №13 Решать дальше №13