15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн… — 13 задание ЕГЭ профиль

№13 Кредиты сложная 2025

15 декабря 2026 года планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на 36 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо одним платежом оплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— к 15 декабря 2029 года кредит должен быть полностью погашен.

Чему равнo $r,$ если общая сумма платежей в 2027 году составила 4830 тыс. рублей?

Разбор — 1 балл

По условию долг гасится дифференцированно: 15-го числа каждого месяца он становится на одну и ту же величину меньше, чем 15-го числа предыдущего месяца. Кредит на $9$ млн рублей гасится за $36$ месяцев, значит, долг каждый месяц уменьшается на $\frac{9}{36} = 0, 25$ млн рублей. Обозначим $k = \frac{r}{100}$ .

Кредит выдан 15 декабря 2026 года, поэтому месяц 1 — это январь 2027 года, а месяц 12 — декабрь 2027 года: весь 2027 год — это месяцы с 1-го по 12-й. Составим таблицу (всё — в млн рублей):

$Месяц 1 (янв . 2027) \dots 12 (дек . 2027) \dots 36 Долг до % 9 \dots \frac{25}{36} \cdot 9 \dots \frac{1}{36} \cdot 9 Долг после % 9 + 9 k \dots \frac{25}{36} \cdot 9 + \frac{25}{36} \cdot 9 k \dots \dots Платёж 9 k + 0, 25 \dots \frac{25}{36} \cdot 9 k + 0, 25 \dots \frac{1}{36} \cdot 9 k + 0, 25 Долг после платежа \frac{35}{36} \cdot 9 \dots \frac{24}{36} \cdot 9 \dots 0$

Платёж каждого месяца состоит из начисленных процентов и постоянной части долга $0, 25$ млн рублей, а долг перед начислением процентов уменьшается равномерно. Значит, и сами платежи убывают равномерно, то есть образуют арифметическую прогрессию. Сумма 12 платежей за 2027 год равна полусумме первого ( $9 k + 0, 25$ ) и двенадцатого ( $\frac{25}{36} \cdot 9 k + 0, 25 = 6, 25 k + 0, 25$ ) платежа, умноженной на 12:

$Σ = \frac{( 9 k + 0 , 25 ) + ( 6 , 25 k + 0 , 25 )}{2} \cdot 12 = (7, 625 k + 0, 25) \cdot 12 = 91, 5 k + 3.$

Подставим $k = \frac{r}{100}$ :

$Σ = \frac{183 r}{200} + 3.$

По условию $Σ = 4, 83$ млн рублей:

$\frac{183 r}{200} + 3 = 4, 83,$

$\frac{183 r}{200} = 1, 83,$

$r = \frac{1 , 83 \cdot 200}{183} = 2.$

Ответ: $2$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №13 — кредиты

Сообщить об ошибке

Ещё задания №13