Турнир по настольному теннису проводится по олимпийской системе в несколько туров: если в туре участвует чётное число игроков, то они разбиваются на случайные игровые пары. Если число игроков нечётно, то с помощью жребия выбираются случайные игровые пары, а один игрок остаётся без пары и не участвует в туре. Проигравший в каждой паре (ничья невозможна) выбывает из турнира, а победители и игрок без пары, если он есть, выходят в следующий тур, который проводится по таким же правилам. Так продолжается до тех пор, пока не останутся двое, которые играют между собой финальный тур, то есть последнюю партию, которая выявляет победителя турнира. Всего в турнире участвует игроков, все они играют одинаково хорошо, поэтому в каждой встрече вероятность выигрыша и поражения у каждого игрока равна . Среди игроков два друга — Иван и Алексей. Какова вероятность того, что этим двоим в каком-то туре придётся сыграть друг с другом?
Турнир заканчивается, когда определён единственный победитель, то есть должны выбыть 19 из 20 игроков — а значит, за весь турнир сыграно ровно 19 партий. Каждая партия — это встреча какой-то конкретной пары игроков, причём все игроки играют одинаково хорошо, и пары на каждом этапе составляются случайно, поэтому для любых двух участников шансы встретиться друг с другом одинаковы.
Всего различных пар, которые можно составить из 20 игроков, равно
Сыграно 19 партий, и каждая — это встреча одной из 190 равновозможных пар, поэтому сумма вероятностей встретиться друг с другом по всем 190 парам равна 19. Так как все пары равновероятны, вероятность встречи для конкретной пары — в частности, для Ивана и Алексея — равна
Ответ: .