ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — классическая вероятность

Разбор — 1 балл

Пусть в лотерее $x$ билетов без выигрыша. По условию выигрышных билетов на 20% меньше, то есть их $0,8x$. Тогда вероятность того, что случайно взятый билет окажется без выигрыша, равна

$$p=\frac{x}{x+0,8x}=\frac{x}{1,8x}=\frac{5}{9}.$$

Пусть куплено $N$ билетов. Чтобы среди них с вероятностью больше $0,75$ оказался выигрышный, вероятность того, что все $N$ билетов окажутся без выигрыша, должна быть меньше $0,25$. Эта вероятность равна

$$P(N)={\left(\frac{5}{9}\right)}^N.$$

Проверим значения $N$ по порядку. Так как $\frac{5}{9}>\frac{1}{2}$, то $P(1)=\frac{5}{9}>0,25$ — одного билета мало.

При $N=2$: $P(2)=\frac{25}{81}$. Сравним с $0,25=\frac{25}{100}$: знаменатель $81$ меньше $100$, значит $\frac{25}{81}>\frac{25}{100}$, то есть $P(2)>0,25$ — двух билетов тоже мало.

При $N=3$: $P(3)=\frac{125}{729}$. Сравним с $0,25=\frac{125}{500}$: знаменатель $729$ больше $500$, значит $\frac{125}{729}<\frac{125}{500}$, то есть $P(3)<0,25$ — трёх билетов достаточно.

Значит, наименьшее число билетов равно $3$.

Ответ: $3$.