ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — классическая вероятность

Разбор — 1 балл

Верхний ящик содержит 10 белых и 15 чёрных кубиков (всего 25), нижний — 15 белых и 10 чёрных (всего 25). Ваня берёт 2 кубика из верхнего ящика и кладёт их в нижний, а Толя берёт 2 кубика из нижнего и кладёт их в верхний. Чтобы в верхнем ящике стало 11 белых и 14 чёрных, нужно, чтобы после обмена белых кубиков стало на 1 больше, а чёрных — на 1 меньше, чем было.

Переберём, какие сочетания изъятых кубиков дают такой результат. Подходят два варианта.

Первый: Ваня вынул 1 белый и 1 чёрный кубик, а Толя — 2 белых. Тогда верхний ящик отдал 1 белый и получил 2 — белых стало больше на 1; отдал 1 чёрный и не получил ни одного — чёрных стало меньше на 1.

Второй: Ваня вынул 2 чёрных кубика, а Толя — 1 белый и 1 чёрный. Тогда верхний ящик не отдал ни одного белого, но получил 1 — белых стало больше на 1; отдал 2 чёрных, получил 1 — чёрных стало меньше на 1.

Обозначим эти события $A$ и $B$ — они исключают друг друга, поэтому искомая вероятность равна $P=P(A)+P(B)$.

Вероятность того, что Ваня вынимает подряд (в любом из 2 порядков) белый и чёрный кубик из верхнего ящика, равна $2\cdot \frac{10}{25}\cdot \frac{15}{24}$, а вероятность того, что Толя вынимает 2 белых кубика из нижнего, равна $\frac{15}{25}\cdot \frac{14}{24}$. Значит,

$$P(A)=2\cdot \frac{10}{25}\cdot \frac{15}{24}\cdot \frac{15}{25}\cdot \frac{14}{24}.$$

Аналогично вероятность того, что Ваня вынимает 2 чёрных кубика, равна $\frac{15}{25}\cdot \frac{14}{24}$, а вероятность того, что Толя вынимает белый и чёрный (в любом порядке), равна $2\cdot \frac{15}{25}\cdot \frac{10}{24}$. Значит,

$$P(B)=\frac{15}{25}\cdot \frac{14}{24}\cdot 2\cdot \frac{15}{25}\cdot \frac{10}{24}.$$

Складывая и сокращая, получаем

$$P=P(A)+P(B)=\frac{2\cdot 2\cdot 10\cdot 15^2\cdot 14}{25^2\cdot 24^2}=\frac{7}{20}=0,35.$$

Ответ: $0,35$.