ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — формула полной вероятности

Разбор — 1 балл

Обозначим за $p$ вероятность того, что случайный направленный на тест пациент действительно болен; тогда вероятность того, что он здоров, равна $1-p$.

Если пациент болен, тест положителен с вероятностью 0,99 (по условию). Если пациент здоров, тест ошибочно оказывается положительным с вероятностью $1-0,89=0,11$, так как тест верно определяет отсутствие болезни в 89% случаев.

По формуле полной вероятности вероятность того, что тест положителен у случайного пациента, складывается из двух вкладов — от больных и от здоровых:

$$p\cdot 0,99+(1-p)\cdot 0,11=0,15,$$

так как по условию в среднем тест положителен у 15% направленных пациентов.

Решим это уравнение относительно $p$:

$$0,99p+0,11-0,11p=0,15,0,88p=0,04,p=\frac{0,04}{0,88}=\frac{1}{22}.$$

Теперь найдём вероятность того, что пациент болен, при условии, что его тест оказался положительным. Обозначим событие «пациент болен» за $A$, а «тест положителен» — за $B$. По формуле условной вероятности:

$$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}.$$

Вероятность того, что пациент болен и тест положителен, равна $P(AB)=p\cdot 0,99$, а $P(B)=0,15$ по условию. Тогда:

$$P(A\mid B)=\frac{\frac{1}{22}\cdot 0,99}{0,15}=\frac{0,045}{0,15}=0,3.$$

Ответ: $0,3$.