ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — объединение и пересечение событий

Разбор — 1 балл

Сумма очков после каждого броска увеличивается не меньше чем на 1 и не больше чем на 6, поэтому момент, когда накопленная сумма впервые становится равной 4, определяется однозначно первыми несколькими бросками, а результаты всех оставшихся бросков уже ничего не меняют и могут быть любыми.

Переберём, за сколько бросков сумма очков могла стать равной 4, то есть все упорядоченные разбиения числа 4 на слагаемые от 1 до 6.

За один бросок сумма 4 получается единственным способом — сразу выпало 4 очка.

За два броска сумма 4 получается при результатах $(2;2)$, либо $(1;3)$, либо $(3;1)$ — три способа.

За три броска сумма 4 получается при результатах $(1;1;2)$, $(1;2;1)$ или $(2;1;1)$ — три способа.

За четыре броска сумма 4 получается единственным способом — четыре раза выпадает по одному очку: $(1;1;1;1)$.

Кубик бросают 10 раз, а после того как сумма достигла 4 за $k$ бросков, оставшиеся $10-k$ бросков могут дать любой из $6^{10-k}$ равновозможных исходов. Поэтому общее число благоприятных для события «сумма стала равна 4» исходов на всех 10 бросках равно:

$$6^9+3\cdot 6^8+3\cdot 6^7+6^6=6^6\left(6^3+3\cdot 6^2+3\cdot 6+1\right)=6^6\cdot 343,$$

где выражение в скобках — это разложение $(6+1{)}^3$.

Среди них исходам, где сумма 4 достигается ровно за два броска, соответствует вес $3\cdot 6^8$ — три найденных способа, умноженные на число исходов оставшихся 8 бросков.

Тогда искомая условная вероятность равна отношению благоприятных исходов ко всем исходам, при которых сумма вообще становится равной 4:

$$P=\frac{3\cdot 6^8}{6^6\cdot 343}=\frac{3\cdot 6^2}{343}=\frac{108}{343}\approx 0,31.$$

Ответ: $0,31$.