ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — объединение и пересечение событий

Разбор — 1 балл

Среди 10 билетов 2 выигрышных и 8 проигрышных. Представим вытягивание четырёх билетов как последовательное извлечение по одному и будем следить, на каком по счёту месте попадётся выигрышный билет.

Нас интересуют четыре случая: выигрышный билет попадается первым, вторым, третьим или четвёртым, а на остальных трёх местах — проигрышные билеты. Обозначим выигрышный «$+$», а проигрышный «$-$».

Вероятность того, что выигрышный попадётся первым, а дальше идут проигрышные:

$$\frac{2}{10}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{6}{7}.$$

Знаменатели уменьшаются на 1 на каждом шаге, так как билеты вынимают без возврата. Аналогично считаются вероятности для случаев, когда выигрышный попадается вторым, третьим и четвёртым:

$$\frac{8}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{7}{8}\cdot \frac{6}{7},\frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{2}{8}\cdot \frac{6}{7},\frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{2}{7}.$$

Во всех четырёх произведениях перемножаются одни и те же числа — 2, 8, 7, 6 в числителях и 10, 9, 8, 7 в знаменателях, только в разном порядке, поэтому все четыре вероятности равны между собой. Значит, искомая вероятность равна одной из них, умноженной на 4:

$$P=4\cdot \frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}\cdot \frac{6}{8}\cdot \frac{2}{7}=\frac{8}{15}\approx 0,53.$$

Ответ: $0,53$.