ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №5 — формула полной вероятности

Обозначим через $p$ вероятность того, что случайный пациент, направленный на тест, действительно болен. Тогда вероятность того, что он здоров, равна $1-p$. Тест положителен у больного с вероятностью $0,91$, а у здорового — с вероятностью $1-0,93=0,07$. По формуле полной вероятности доля положительных тестов равна

$$p\cdot 0,91+(1-p)\cdot 0,07=0,13.$$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$$0,84p=0,13-0,07=0,06,p=\frac{0,06}{0,84}=\frac{1}{14}.$$

Нас спрашивают не $p$, а вероятность того, что пациент болен, при условии, что тест положителен. По формуле условной вероятности $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, где $A$ — «пациент болен», $B$ — «тест положителен»:

$$P(A\mid B)=\frac{p\cdot 0,91}{0,13}=\frac{\frac{1}{14}\cdot 0,91}{0,13}=0,5.$$

Ответ: $0,5$.