ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) По условию $BC=6$ и $BD:DC=2:1$, поэтому

$$BD=\frac{2}{3}\cdot 6=4,DC=\frac{1}{3}\cdot 6=2.$$

По теореме косинусов для треугольника $ABC$

$$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \angle B,$$

$${\left(2\sqrt{15}\right)}^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2+6^2-2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 6\cdot \cos \angle B,$$

$$60=72+36-72\sqrt{2}\cos \angle B\Rightarrow \cos \angle B=\frac{48}{72\sqrt{2}}=\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}.$$

По теореме косинусов для треугольника $ABD$

$$A{D}^2=A{B}^2+B{D}^2-2\cdot AB\cdot BD\cdot \cos \angle B=72+16-2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{2}}{3}=88-32=56.$$

Теперь в треугольнике $ABD$

$$A{D}^2+B{D}^2=56+16=72=A{B}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABD$ прямоугольный с прямым углом $D$. Значит, $AD\perp BC$, и $AD$ — высота треугольника $ABC$. Что и требовалось доказать.

б) Отрезок $AC$ — биссектриса треугольника $BAE$, поэтому точка $C$ лежит на стороне $BE$, то есть $E$ лежит на луче $BC$ за точкой $C$. Пусть $CE=x$, тогда

$$DE=DC+CE=2+x.$$

По свойству биссектрисы она делит сторону $BE$ на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{BC}{CE}=\frac{AB}{AE}\Rightarrow AE=\frac{CE\cdot AB}{BC}=\frac{x\cdot 6\sqrt{2}}{6}=x\sqrt{2}.$$

По пункту а) $AD\perp BE$, поэтому треугольник $ADE$ прямоугольный. По теореме Пифагора

$$A{D}^2+D{E}^2=A{E}^2,$$

$$56+(2+x{)}^2=2x^2,$$

$$x^2-4x-60=0.$$

Дискриминант $D=16+240=256$, корни

$$x=\frac{4\pm 16}{2},x_1=10,x_2=-6.$$

Длина отрезка положительна, поэтому $CE=10$ и $AE=10\sqrt{2}$.

Синус угла $B$ найдём из основного тригонометрического тождества (синус угла треугольника положителен):

$$\sin \angle B=\sqrt{1-{\cos }^2\angle B}=\sqrt{1-\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{7}}{3}.$$

Точка $E$ лежит на луче $BC$, поэтому угол $ABE$ совпадает с углом $ABC$; в треугольнике $BAE$ он лежит против стороны $AE$. По теореме синусов для треугольника $BAE$

$$\frac{AE}{\sin \angle B}=2R\Rightarrow R=\frac{AE}{2\sin \angle B}=\frac{10\sqrt{2}}{2\cdot \frac{\sqrt{7}}{3}}=\frac{15\sqrt{2}}{\sqrt{7}}=\frac{15\sqrt{14}}{7}.$$

Ответ: б) $\frac{15\sqrt{14}}{7}$.