ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

Обозначим радиус большей окружности через $R$. Тогда $OA=OB=OC=OP=OQ=R$.

Сначала разберёмся, как устроены окружности. Точка касания двух окружностей лежит на прямой, проходящей через их центры, поэтому центр меньшей окружности лежит на прямой $OA$. Точки $A$ и $O$ лежат на меньшей окружности и на прямой, проходящей через её центр, значит, $OA$ — диаметр меньшей окружности. Точка $P$ — вторая точка пересечения луча $AO$ с большей окружностью, поэтому $AP$ — диаметр большей окружности, $AP=2R$, а $O$ — середина отрезка $AP$.

Сделаем рисунок: большая окружность с центром $O$, внутри неё меньшая окружность с диаметром $OA$. Через $O$ проходит диаметр $BC$, он вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$. Луч $AM$ продолжаем до пересечения с большей окружностью в точке $Q$, точка $P$ диаметрально противоположна точке $A$.

а) Угол $AMO$ вписан в меньшую окружность и опирается на её диаметр $OA$. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой, поэтому $\angle AMO=90^{\circ }$, то есть $OM\perp AM$.

Угол $AQP$ вписан в большую окружность и опирается на её диаметр $AP$, поэтому $\angle AQP=90^{\circ }$, то есть $PQ\perp AQ$.

Точка $Q$ лежит на луче $AM$, поэтому прямые $AM$ и $AQ$ совпадают. Получаем, что прямые $OM$ и $PQ$ перпендикулярны одной и той же прямой $AQ$. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, значит, $PQ\parallel OM$.

Точки $O$ и $M$ лежат на диаметре $BC$, то есть прямая $OM$ — это прямая $BC$. Следовательно, $PQ\parallel BC$. Что и требовалось доказать.

б) Соберём нужные факты о точках $M$ и $C$.

Отрезок $AQ$ — хорда большей окружности, а $OM$ — перпендикуляр к ней из центра $O$. Перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит её пополам, поэтому $M$ — середина $AQ$:

$$AM=MQ.$$

Кроме того, $O$ — середина $AP$, а $M$ — середина $AQ$, поэтому $OM$ — средняя линия треугольника $APQ$. Средняя линия равна половине параллельной ей стороны:

$$PQ=2OM.$$

Теперь выясним, где лежит точка $C$. Точки $O$ и $P$ лежат на отрезке $AP$, выходящем из точки $A$ прямой $AQ$, поэтому они находятся по одну сторону от прямой $AQ$. Значит, дуга $AQ$, содержащая точку $P$, лежит с той же стороны от $AQ$, что и $O$, а дуга $AQ$, не содержащая $P$, — по другую сторону. Диаметр $BC$ пересекает прямую $AQ$ в точке $M$: один его конец лежит со стороны точки $O$, а другой — на продолжении луча $OM$ за точку $M$, то есть по другую сторону от $AQ$. По условию $C$ лежит на дуге, не содержащей $P$, поэтому $C$ лежит на луче $OM$, причём $M$ — между $O$ и $C$. Отсюда

$$\angle AOC=\angle AOM,MC=OC-OM=R-OM.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AMO$ с прямым углом $M$ и гипотенузой $OA=R$. По условию $\sin \angle AOM=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Угол $AOM$ острый, поэтому его косинус положителен:

$$\cos \angle AOM=\sqrt{1-{\sin }^2\angle AOM}=\sqrt{1-\frac{15}{16}}=\frac{1}{4}.$$

Катет $OM$ прилежит к углу $AOM$, поэтому

$$OM=OA\cdot \cos \angle AOM=\frac{R}{4}.$$

Тогда

$$PQ=2OM=\frac{R}{2},MC=R-\frac{R}{4}=\frac{3R}{4}.$$

Рассмотрим точку $K$ пересечения прямых $PC$ и $AQ$. Точки $P$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AQ$, а $PQ$ и $CM$ — перпендикуляры к этой прямой, поэтому точка $K$ лежит на отрезке $PC$ и на отрезке $QM$.

Треугольники $KQP$ и $KMC$ прямоугольные: $\angle KQP=\angle KMC=90^{\circ }$, так как $PQ\perp AQ$ и $CM\perp AQ$. Углы $QKP$ и $MKC$ равны как вертикальные. Значит, треугольники $KQP$ и $KMC$ подобны по двум углам, и их соответственные стороны пропорциональны:

$$\frac{QK}{KM}=\frac{PQ}{MC}=\frac{R/2}{3R/4}=\frac{2}{3}.$$

Пусть $QK=2t$, $KM=3t$. Тогда $QM=QK+KM=5t$, и так как $M$ — середина $AQ$, то $MA=QM=5t$. Точка $K$ лежит между $Q$ и $M$, поэтому

$$KA=KM+MA=3t+5t=8t.$$

Окончательно

$$QK:KA=2t:8t=1:4.$$

Ответ: б) $1:4$.