В треугольнике ABC все стороны различны. Прямая, содержащая высоту BH треугольника ABC, вторично пересекает описанную около этого… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2025 развёрнутое

В треугольнике $A B C$ все стороны различны. Прямая, содержащая высоту $B H$ треугольника $A B C,$ вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке $K .$ Отрезок $B N$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что прямые $A C$ и $K N$ параллельны.

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $A C,$ если радиус описанной около треугольника $A B C$ окружности равен $86, ∠ B A C = 3 0^{\circ},$ $∠ A B C = 10 5^{\circ} .$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) По условию $B H$ — высота треугольника $A B C$ , а точка $K$ лежит на прямой $B H$ , поэтому $B K ⊥ A C$ .

Точка $K$ не совпадает с $N$ . Действительно, если бы $K = N$ , то прямая $B H$ проходила бы через центр $O$ окружности. Центр лежит на серединном перпендикуляре к $A C$ , а прямая $B H$ перпендикулярна $A C$ ; значит, $B H$ совпала бы с серединным перпендикуляром к $A C$ , и было бы $B A = B C$ . Это противоречит условию, что все стороны треугольника различны.

Угол $B K N$ вписанный и опирается на диаметр $B N$ , поэтому $∠ B K N = 9 0^{\circ}$ , то есть $K N ⊥ B K$ .

Прямые $A C$ и $K N$ перпендикулярны одной и той же прямой $B K$ , следовательно, они параллельны. Что и требовалось доказать.

б) По пункту а) $K N ∥ A C$ , поэтому все точки прямой $K N$ удалены от прямой $A C$ на одно и то же расстояние. Расстояние от $N$ до $A C$ равно расстоянию от $K$ до $A C$ , то есть длине отрезка $K H$ (так как $K H ⊥ A C$ ).

Найдём третий угол треугольника:

$∠ A C B = 18 0^{\circ} - ∠ A B C - ∠ B A C = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} - 3 0^{\circ} = 4 5^{\circ} .$

Углы $A$ и $C$ острые, поэтому основание высоты $H$ лежит на стороне $A C$ , а точка $K$ — на дуге $A C$ , не содержащей $B$ . Из прямоугольного треугольника $B H C$

$∠ H B C = 9 0^{\circ} - ∠ B C H = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .$

Проведём хорду $K C$ . Точка $K$ лежит на дуге $A C$ , не содержащей $B$ , поэтому точки идут по окружности в порядке $A$ , $B$ , $C$ , $K$ , и точки $A$ и $K$ лежат по одну сторону от прямой $B C$ . Вписанные углы $B K C$ и $B A C$ опираются на одну дугу $B C$ и равны:

$∠ B K C = ∠ B A C = 3 0^{\circ} .$

Точка $K$ лежит на луче $B H$ , поэтому $∠ K B C = ∠ H B C = 4 5^{\circ}$ . Треугольник $B C K$ вписан в ту же окружность радиуса $R = 86$ . По теореме синусов

$\frac{C K}{sin ∠ K B C} = 2 R \Rightarrow C K = 2 \cdot 86 \cdot sin 4 5^{\circ} = 166 \cdot \frac{2}{2} = 812 = 163 .$

В прямоугольном треугольнике $K H C$ угол $H K C$ равен углу $B K C$ (точка $H$ лежит на отрезке $B K$ ), то есть $3 0^{\circ}$ . Прилежащий катет равен гипотенузе, умноженной на косинус угла:

$K H = C K \cdot cos 3 0^{\circ} = 163 \cdot \frac{3}{2} = 24.$

Ответ: б) $24$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18