ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Обозначим центры меньшей и большей окружностей через $O_1$ и $O_2$.

Окружности касаются внешним образом, поэтому они лежат по разные стороны от общей касательной в точке $C$. Точка $A$ лежит на меньшей окружности, а $E$ — на большей, значит, они по разные стороны от этой касательной, и точка $C$ лежит между $A$ и $E$. Точно так же $C$ лежит между $B$ и $D$.

По условию $\angle ACB=90^{\circ }$, точка $D$ лежит на продолжении $BC$ за точку $C$, поэтому $\angle ACD=90^{\circ }$. Вписанный прямой угол опирается на диаметр, значит, $AD$ — диаметр меньшей окружности, и центр $O_1$ — середина $AD$.

Аналогично $\angle BCE=90^{\circ }$, поэтому $BE$ — диаметр большей окружности, и центр $O_2$ — середина $BE$.

Точка касания двух окружностей лежит на линии центров, поэтому точки $O_1$, $C$, $O_2$ лежат на одной прямой, причём при внешнем касании $C$ лежит между $O_1$ и $O_2$.

Треугольник $A{O}_{1}C$ равнобедренный ($O_{1}A=O_{1}C$ как радиусы), поэтому $\angle CA{O}_1=\angle AC{O}_1$. Треугольник $C{O}_{2}E$ тоже равнобедренный ($O_{2}C=O_{2}E$), поэтому $\angle CE{O}_2=\angle EC{O}_2$.

Лучи $CA$ и $CE$ противоположны, лучи $C{O}_1$ и $C{O}_2$ тоже противоположны. Значит, углы $AC{O}_1$ и $EC{O}_2$ вертикальные и равны. Получаем

$$\angle CA{O}_1=\angle AC{O}_1=\angle EC{O}_2=\angle CE{O}_2,$$

то есть $\angle CAD=\angle CEB$.

Прямые $AD$ и $BE$ пересечены секущей $AE$, а точки $D$ и $B$ лежат по разные стороны от неё (точка $C$ прямой $AE$ лежит между $B$ и $D$). Значит, углы $CAD$ и $CEB$ накрест лежащие, и из их равенства следует

$$AD\parallel BE.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $AC=BC=x$. Диаметры окружностей:

$$AD=2\sqrt{15},BE=2\cdot 15=30.$$

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $ECB$. В них $\angle ACD=\angle ECB=90^{\circ }$ и по пункту а) $\angle CAD=\angle CEB$. Значит, треугольники подобны по двум углам (вершина $A$ соответствует $E$, вершина $D$ — вершине $B$), и

$$\frac{CE}{CA}=\frac{EB}{AD}=\frac{30}{2\sqrt{15}}=\sqrt{15}\Rightarrow CE=\sqrt{15}x.$$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $BCE$

$$B{C}^2+C{E}^2=B{E}^2,$$

$$x^2+15x^2=900,$$

$$16x^2=900,x^2=\frac{225}{4},x=\frac{15}{2}.$$

Проверим по меньшей окружности: из подобия $CD=\frac{CB}{\sqrt{15}}=\frac{x}{\sqrt{15}}$, и в треугольнике $ACD$

$$A{D}^2=x^2+\frac{x^2}{15}=\frac{16}{15}\cdot \frac{225}{4}=60={\left(2\sqrt{15}\right)}^2.$$

Значит, $BC=\frac{15}{2}=7,5$.

Ответ: б) $7,5$.