ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Разбор — 3 балла

а) Пусть сторона квадрата равна $11t$. Тогда $AM=t$, $MB=10t$.

Опустим из точки $N$ перпендикуляры $NE$ на сторону $AB$ и $NF$ на сторону $AD$. Прямые $NE$ и $CB$ перпендикулярны $AB$, значит, параллельны. По теореме о пропорциональных отрезках для угла $BAC$

$$\frac{AE}{EB}=\frac{AN}{NC}=\frac{6}{5}\Rightarrow AE=\frac{6}{11}\cdot 11t=6t.$$

Аналогично $NF\parallel CD$, и для угла $DAC$

$$\frac{AF}{FD}=\frac{AN}{NC}=\frac{6}{5}\Rightarrow AF=6t,FD=5t.$$

У четырёхугольника $AENF$ три угла прямые и $AE=AF=6t$, поэтому это квадрат, и $NE=NF=6t$. Так как $AM=t<AE$, точка $M$ лежит между $A$ и $E$, и

$$ME=AE-AM=6t-t=5t.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $NEM$ и $NFD$ (углы $E$ и $F$ прямые). В них $NE=NF=6t$ и $EM=FD=5t$, значит, они равны по двум катетам, и

$$\angle ENM=\angle FND.$$

Точка $M$ лежит на стороне $AE$ квадрата $AENF$, поэтому луч $NM$ проходит внутри прямого угла $ENF$ и

$$\angle MNF=90^{\circ }-\angle ENM.$$

Прямая $NF$ параллельна $AB$ и пересекает $AD$ в точке $F$, лежащей между $A$ и $D$. Поэтому точки $M$ (на прямой $AB$) и $D$ лежат по разные стороны от прямой $NF$, и

$$\angle MND=\angle MNF+\angle FND=\left(90^{\circ }-\angle ENM\right)+\angle ENM=90^{\circ }.$$

В четырёхугольнике $AMND$ противоположные углы $MAD$ и $MND$ прямые, их сумма равна $180^{\circ }$. Значит, около него можно описать окружность (это окружность с диаметром $MD$): точки $A$, $M$, $N$, $D$ лежат на одной окружности. Что и требовалось доказать.

б) Сторона квадрата равна $132=11t$, поэтому $t=12$.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AN$ и $MD$ четырёхугольника $AMND$. Диагональ квадрата $AC$ — биссектриса прямого угла $BAD$, точка $N$ лежит на $AC$. Значит, в треугольнике $AMD$ отрезок $AO$ — биссектриса угла $MAD$. По свойству биссектрисы

$$\frac{MO}{OD}=\frac{MA}{AD}=\frac{t}{11t}=\frac{1}{11}\Rightarrow \frac{MO}{MD}=\frac{1}{12}.$$

Опустим перпендикуляр $OR$ на прямую $MN$; его длина и есть искомое расстояние. В пункте а) мы доказали, что $\angle MND=90^{\circ }$, поэтому угол $NMD$ острый и точка $R$ лежит на луче $MN$. Прямоугольные треугольники $MRO$ и $MND$ имеют общий острый угол при вершине $M$, значит, они подобны по двум углам:

$$\frac{OR}{DN}=\frac{MO}{MD}=\frac{1}{12}.$$

Найдём $DN$ из прямоугольного треугольника $NFD$:

$$DN=\sqrt{N{F}^2+F{D}^2}=\sqrt{(6t{)}^2+(5t{)}^2}=t\sqrt{61}=12\sqrt{61}.$$

Тогда

$$OR=\frac{DN}{12}=\frac{12\sqrt{61}}{12}=\sqrt{61}.$$

Ответ: б) $\sqrt{61}$.