Дан ромб ABCD. Прямая, перпендикулярная стороне AD, пересекает его… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Квадрат, прямоугольник, ромб сложная 2023 развёрнутое

Дан ромб $A B C D$ . Прямая, перпендикулярная стороне $A D$ , пересекает его диагональ $A C$ в точке $M$ , диагональ $B D$ — в точке $N$ , причем $A M : M C = 1 : 2$ , $B N : N D = 1 : 3$ .

а) Докажите, что $cos ∠ B A D = 0, 2$ .

б) Найдите площадь ромба, если $M N = 5$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Ромб ABCD, отрезок MN перпендикулярен AD

а) Обозначим через $O$ точку пересечения диагоналей ромба, через $P$ и $Q$ — точки пересечения данной прямой с прямыми $A D$ и $B C$ . Проведём высоту $B H$ ромба к прямой $A D$ , и пусть $K$ — точка пересечения прямых $B H$ и $A C$ .

Рисунок к решению

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. По условию $A M : M C = 1 : 2$ ; пусть $A M = 2 x$ , $M C = 4 x$ . Тогда $A C = 6 x$ и

$A O = O C = 3 x, M O = A O - A M = 3 x - 2 x = x .$

По условию $B N : N D = 1 : 3$ ; пусть $B N = y$ , $N D = 3 y$ . Тогда $B D = 4 y$ и

$B O = O D = 2 y, N O = B O - B N = 2 y - y = y .$

Прямая $M N$ и высота $B H$ перпендикулярны одной прямой $A D$ , поэтому они параллельны: $M N ∥ B H$ .

Рассмотрим треугольник $B D H$ . Прямая $N P$ проходит через точку $N$ стороны $B D$ параллельно стороне $B H$ и пересекает прямую $D H$ в точке $P$ . По теореме о пропорциональных отрезках

$\frac{H P}{P D} = \frac{B N}{N D} = \frac{1}{3},$

причём $P$ лежит между $H$ и $D$ . Пусть $H P = a$ , $P D = 3 a$ .

Рассмотрим треугольник $B O K$ . Точка $N$ — середина стороны $B O$ (так как $B N = N O = y$ ), а прямая $N M$ параллельна стороне $B K$ . По теореме Фалеса прямая, проходящая через середину одной стороны параллельно другой, делит третью сторону пополам, поэтому $M$ — середина $O K$ :

$K M = M O = x .$

Точка $K$ лежит от $M$ по другую сторону, чем $O$ , то есть в сторону $A$ , и

$A K = A M - K M = 2 x - x = x .$

Рассмотрим треугольник $A P M$ . Точка $K$ — середина стороны $A M$ (так как $A K = K M = x$ ), а прямая $K H$ параллельна стороне $M P$ . По теореме Фалеса $H$ — середина $A P$ :

$A H = H P = a .$

Итак, на прямой $A D$ точки идут в порядке $A$ , $H$ , $P$ , $D$ , и

$A D = A H + H P + P D = a + a + 3 a = 5 a .$

Все стороны ромба равны, поэтому $A B = A D = 5 a$ . Точка $H$ лежит на стороне $A D$ , значит, угол $B A D$ — острый угол прямоугольного треугольника $A B H$ , и

$cos ∠ B A D = \frac{A H}{A B} = \frac{a}{5 a} = \frac{1}{5} = 0, 2.$

Что и требовалось доказать.

б) В треугольнике $B O K$ точка $M$ — середина стороны $K O$ , а $N$ — середина стороны $B O$ . Значит, $M N$ — средняя линия этого треугольника, и она равна половине стороны $B K$ :

$B K = 2 M N = 10.$

Рассмотрим треугольники $A H K$ и $C B K$ . В них $∠ A H K = 9 0^{\circ}$ и $∠ C B K = 9 0^{\circ}$ (высота $B H$ перпендикулярна $A D$ , а значит, и параллельной ей прямой $B C$ ), а углы $A K H$ и $C K B$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники подобны по двум углам.

Найдём $K C$ :

$K C = K M + M O + O C = x + x + 3 x = 5 x, \frac{A K}{K C} = \frac{x}{5 x} = \frac{1}{5} .$

Из подобия (вершина $A$ соответствует $C$ , вершина $H$ — вершине $B$ )

$\frac{H K}{B K} = \frac{A K}{K C} = \frac{1}{5} \Rightarrow H K = \frac{10}{5} = 2.$

Рисунок к решению

Тогда высота ромба

$B H = B K + K H = 10 + 2 = 12.$

В прямоугольном треугольнике $A B H$ катет $A H = a$ , гипотенуза $A B = 5 a$ . По теореме Пифагора

$(5 a)^{2} = a^{2} + 1 2^{2},$

$24 a^{2} = 144, a^{2} = 6, a = 6 .$

Значит, сторона ромба $A D = 5 a = 56$ . Площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведённую к ней:

$S = A D \cdot B H = 56 \cdot 12 = 606 .$

Ответ: б) $606$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — квадрат, прямоугольник, ромб

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18