Окружность проходит через вершины B и C прямоугольного треугольника ABC и пересекает катет AC в точке K, гипотенузу AB — в точке… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2026 развёрнутое

Окружность проходит через вершины $B$ и $C$ прямоугольного треугольника $A B C$ и пересекает катет $A C$ в точке $K,$ гипотенузу $A B$ — в точке $M .$

а) Докажите, что треугольники $A K M$ и $A B C$ подобны.

б) Найдите площадь четырехугольника $C K M B,$ если радиус окружности равен $210,$ катеты $A C$ и $B C$ равны 16 и 4 соответственно.

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Соединим точки $M$ и $K$ . Точки $C$ , $K$ , $M$ , $B$ лежат на одной окружности, причём $K$ лежит на катете $A C$ , а $M$ — на гипотенузе $A B$ . Значит, $C K M B$ — вписанный четырёхугольник, и сумма его противоположных углов равна $18 0^{\circ}$ . Угол $B C K$ совпадает с прямым углом $C$ треугольника, поэтому

$∠ B C K + ∠ K M B = 18 0^{\circ} \Rightarrow ∠ K M B = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ} .$

Точка $M$ лежит между $A$ и $B$ , поэтому углы $K M A$ и $K M B$ смежные:

$∠ K M A = 18 0^{\circ} - ∠ K M B = 9 0^{\circ} .$

Рассмотрим треугольники $A K M$ и $A B C$ . Угол $A$ у них общий, а $∠ A M K = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ . Следовательно, треугольники подобны по двум углам (вершина $M$ соответствует вершине $C$ , вершина $K$ — вершине $B$ ). Что и требовалось доказать.

б) В пункте а) мы получили, что $∠ K M B = 9 0^{\circ}$ . Значит, диагональ $B K$ делит четырёхугольник $C K M B$ на два прямоугольных треугольника $B C K$ и $B M K$ , и

$S_{C K M B} = S_{B C K} + S_{B M K} .$

Вписанный угол $B C K$ прямой, а вписанный прямой угол опирается на диаметр. Поэтому $B K$ — диаметр окружности:

$B K = 2 R = 410 .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B C K$

$C K^{2} = B K^{2} - B C^{2} = 160 - 16 = 144, C K = 12.$

Точка $K$ лежит на катете $A C$ , поэтому

$A K = A C - C K = 16 - 12 = 4.$

Гипотенуза треугольника $A B C$ по теореме Пифагора:

$A B = A C^{2} + B C^{2} = 256 + 16 = 272 = 417 .$

Из подобия треугольников $A K M$ и $A B C$ (пункт а) отношения соответственных сторон равны:

$\frac{A K}{A B} = \frac{K M}{B C} \Rightarrow K M = \frac{A K \cdot B C}{A B} = \frac{4 \cdot 4}{4 17} = \frac{4}{17} .$

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $B M K$

$B M^{2} = B K^{2} - K M^{2} = 160 - \frac{16}{17} = \frac{2704}{17}, B M = \frac{52}{17} .$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, поэтому

$S_{C K M B} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot C K + \frac{1}{2} \cdot K M \cdot B M = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{17} \cdot \frac{52}{17} = 24 + \frac{104}{17} = \frac{512}{17} .$

Проверим другим способом. Коэффициент подобия треугольников $A K M$ и $A B C$ равен $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{17}$ , площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия. Четырёхугольник $C K M B$ — это треугольник $A B C$ без треугольника $A K M$ :

$S_{C K M B} = S_{A B C} - S_{A K M} = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 4 \cdot (1 - \frac{1}{17}) = 32 \cdot \frac{16}{17} = \frac{512}{17} .$

Ответ: б) $\frac{512}{17}$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18