ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Угол $BAC$ вписанный и опирается на диаметр $BC$, поэтому

$$\angle BAC=90^{\circ },AC\perp AB.$$

Центр окружности, вписанной в угол, равноудалён от его сторон (расстояния равны радиусу), поэтому он лежит на биссектрисе угла: $NO$ — биссектриса угла $ANB$.

Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны: $NA=NB$. Треугольник $ANB$ равнобедренный с основанием $AB$, а его биссектриса $NO$, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Пусть $H$ — точка пересечения $NO$ и $AB$. Тогда

$$NO\perp AB,AH=HB.$$

Прямые $AC$ и $NO$ перпендикулярны одной прямой $AB$ и проходят через разные её точки $A$ и $H$, значит, они параллельны. Что и требовалось доказать.

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора

$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{24^2+10^2}=\sqrt{676}=26,OB=\frac{BC}{2}=13.$$

Точка $O$ — середина $BC$, точка $H$ — середина $AB$, поэтому $OH$ — средняя линия треугольника $ABC$:

$$OH=\frac{AC}{2}=5.$$

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому $\angle NBO=90^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $NBO$ отрезок $BH$ — высота, проведённая к гипотенузе $NO$ (так как $AB\perp NO$). Точка $H$ лежит между $N$ и $O$ как основание высоты из вершины прямого угла.

Найдём косинус угла $BON$ двумя способами. Из прямоугольного треугольника $BHO$:

$$\cos \angle BOH=\frac{OH}{OB}=\frac{5}{13}.$$

Из прямоугольного треугольника $NBO$:

$$\cos \angle BON=\frac{OB}{NO}.$$

Углы $BOH$ и $BON$ совпадают, так как точка $H$ лежит на отрезке $ON$. Приравниваем:

$$\frac{OB}{NO}=\frac{5}{13}\Rightarrow NO=\frac{13\cdot 13}{5}=\frac{169}{5}=33,8.$$

Ответ: б) $33,8$.