В остроугольном треугольнике ABC провели высоту CC₁ и медиану AA₁. Оказалось, что точки A, A₁, C… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности средняя 2020 развёрнутое

В остроугольном треугольнике $A B C$ провели высоту $C C_{1}$ и медиану $A A_{1} .$ Оказалось, что точки $A,$ $A_{1},$ $C,$ $C_{1}$ лежат на одной окружности.

а) Докажите, что треугольник $A B C$ равнобедренный.

б) Найдите площадь треугольника $A B C,$ если $A A_{1} : C C_{1} = 5 : 4$ и $A_{1} C_{1} = 4.$

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $C C_{1}$ — высота, поэтому $∠ A C_{1} C = 9 0^{\circ}$ . Треугольник остроугольный, значит, основание высоты $C_{1}$ лежит внутри стороны $A B$ и не совпадает с точкой $A$ .

Точки $A$ , $A_{1}$ , $C$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности. Вписанный в неё угол $A C_{1} C$ прямой, а вписанный прямой угол опирается на диаметр. Значит, $A C$ — диаметр этой окружности.

Точка $A_{1}$ (середина $B C$ ) тоже лежит на этой окружности и отлична от $A$ и $C$ . Вписанный угол $A A_{1} C$ опирается на диаметр $A C$ , поэтому

$∠ A A_{1} C = 9 0^{\circ}, A A_{1} ⊥ B C .$

Итак, медиана $A A_{1}$ является высотой. Прямоугольные треугольники $A B A_{1}$ и $A C A_{1}$ равны по двум катетам: катет $A A_{1}$ общий, $B A_{1} = C A_{1}$ , так как $A_{1}$ — середина $B C$ . Следовательно, $A B = A C$ , и треугольник $A B C$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

б) Треугольник $B C C_{1}$ прямоугольный с гипотенузой $B C$ , а $A_{1} C_{1}$ — его медиана, проведённая к гипотенузе. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна её половине:

$A_{1} C_{1} = \frac{B C}{2} \Rightarrow B C = 2 A_{1} C_{1} = 8, B A_{1} = 4.$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $A B A_{1}$ и $C B C_{1}$ . В них $∠ A A_{1} B = ∠ C C_{1} B = 9 0^{\circ}$ , угол $B$ общий, поэтому они подобны по двум углам (вершина $A$ соответствует $C$ , вершина $A_{1}$ — вершине $C_{1}$ ). Отношение гипотенуз равно отношению соответствующих катетов:

$\frac{A B}{C B} = \frac{A A _{1}}{C C _{1}} = \frac{5}{4} \Rightarrow A B = \frac{5}{4} \cdot 8 = 10.$

По теореме Пифагора в треугольнике $A B A_{1}$

$A A_{1} = A B^{2} - B A_{1}^{2} = 1 0^{2} - 4^{2} = 84 = 221 .$

Треугольник со сторонами $10$ , $10$ , $8$ действительно остроугольный: квадрат наибольшей стороны $1 0^{2} = 100$ меньше суммы квадратов двух других $1 0^{2} + 8^{2} = 164$ .

Отрезок $A A_{1}$ — высота к стороне $B C$ , поэтому

$S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot B C \cdot A A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 221 = 821 .$

Ответ: б) $821$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18