ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Прямая $CL$ — биссектриса угла $ACB$, поэтому вписанные углы $ACL$ и $BCL$ равны. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, значит, дуги $AL$ и $BL$, не содержащие точку $C$, равны. Равные дуги стягиваются равными хордами:

$$AL=BL.$$

Треугольник $ALB$ равнобедренный с основанием $AB$, а $N$ — середина основания. Медиана $LN$ равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является и высотой:

$$LN\perp AB,\angle ANM=\angle BNM=90^{\circ }.$$

Биссектриса угла $C$ пересекает гипотенузу $AB$ во внутренней точке, поэтому точки $C$ и $L$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Прямая $LN$ идёт из точки $L$ через $N$ в полуплоскость, где лежит $C$, и там пересекает катет $BC$ в точке $M$. Значит, точка $N$ лежит между $L$ и $M$, луч $ML$ проходит через $N$, и $\angle BML=\angle BMN$.

Рассмотрим четырёхугольник $ACMN$. В нём $\angle ACM=90^{\circ }$ (угол $C$ треугольника прямой, точка $M$ лежит на катете $CB$) и $\angle ANM=90^{\circ }$. Сумма противоположных углов равна

$$\angle ACM+\angle ANM=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ },$$

поэтому около четырёхугольника $ACMN$ можно описать окружность. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, сумма противоположных углов равна $180^{\circ }$:

$$\angle NAC+\angle CMN=180^{\circ }.$$

Углы $CMN$ и $NMB$ смежные (точка $M$ лежит между $C$ и $B$), поэтому $\angle CMN+\angle NMB=180^{\circ }$. Сравнивая два равенства, получаем

$$\angle NMB=\angle NAC.$$

Так как $\angle NAC=\angle BAC$ и $\angle NMB=\angle BML$, то

$$\angle BML=\angle BAC.$$

Что и требовалось доказать.

б) Рассмотрим треугольники $BNM$ и $BCA$. В них $\angle BNM=\angle BCA=90^{\circ }$ и угол $B$ общий, поэтому они подобны по двум углам (вершина $N$ соответствует $C$, вершина $M$ — вершине $A$). Отношение гипотенуз равно отношению катетов, прилежащих к углу $B$:

$$\frac{BM}{BA}=\frac{BN}{BC}.$$

Точка $N$ — середина гипотенузы, $BN=\frac{AB}{2}=10$. Точка $M$ лежит на катете $BC$, поэтому $BC=BM+MC=BM+3\sqrt{5}$. Обозначим $BM=x>0$:

$$\frac{x}{20}=\frac{10}{x+3\sqrt{5}}\iff x(x+3\sqrt{5})=200\iff x^2+3\sqrt{5}x-200=0.$$

Дискриминант:

$$D=(3\sqrt{5}{)}^2+4\cdot 200=45+800=845=13^2\cdot 5,\sqrt{D}=13\sqrt{5}.$$

Корни:

$$x=\frac{-3\sqrt{5}\pm 13\sqrt{5}}{2},x_1=5\sqrt{5},x_2=-8\sqrt{5}.$$

Длина отрезка положительна, поэтому $BM=5\sqrt{5}$ и

$$BC=BM+MC=5\sqrt{5}+3\sqrt{5}=8\sqrt{5}.$$

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{400-320}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}.$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{5}\cdot 8\sqrt{5}=80.$$

Ответ: б) $80$.