ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — параллелограммы

Разбор — 3 балла

а) По условию $BK\perp AD$, а $AD\parallel BC$ как противоположные стороны параллелограмма. Прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой, поэтому $BK\perp BC$, то есть

$$\angle KBC=90^{\circ }.$$

Вписанный угол $KBC$ прямой, значит, он опирается на диаметр: $CK$ — диаметр окружности.

Аналогично $BM\perp CD$ и $CD\parallel AB$, поэтому $BM\perp AB$ и

$$\angle ABM=90^{\circ }.$$

Вписанный прямой угол $ABM$ опирается на диаметр: $AM$ — диаметр окружности.

Диаметры $AM$ и $CK$ различны. Действительно, если бы они совпадали, то точка $K$ совпала бы с $A$ (с точкой $C$ она совпасть не может, так как $BK\perp BC$). Тогда $BA\perp AD$, угол $A$ параллелограмма прямой, и $ABCD$ — прямоугольник. Но около прямоугольника можно описать окружность, и вершина $D$ лежала бы на окружности, проходящей через $A$, $B$, $C$, — это противоречит условию.

Два различных диаметра пересекаются в центре $O$ окружности и делятся им пополам, а их концы $A$, $C$, $M$, $K$ — четыре различные точки окружности. У четырёхугольника $ACMK$ диагонали $AM$ и $CK$ делятся точкой пересечения пополам, поэтому он параллелограмм, а так как его диагонали равны (обе равны диаметру), он является прямоугольником. Что и требовалось доказать.

б) Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^{\circ }$:

$$\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAD=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ }.$$

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Угол $ABC$ опирается на дугу $AC$, не содержащую точку $B$, поэтому эта дуга равна $2\cdot 105^{\circ }=210^{\circ }$. Тогда дуга $AC$, содержащая точку $B$, равна

$$360^{\circ }-210^{\circ }=150^{\circ }.$$

Центральный угол $AOC$ (где $O$ — центр окружности, точка пересечения диагоналей $AM$ и $CK$) опирается на эту дугу, поэтому

$$\angle AOC=150^{\circ }.$$

Это угол между диагоналями прямоугольника $ACMK$. Каждая диагональ равна диаметру: $AM=CK=2\cdot 2=4$. Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними:

$$S_{ACMK}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot CK\cdot \sin \angle AOC=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \sin 150^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=4.$$

Ответ: б) $4$.