ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Проведём отрезки $CM$ и $BN$.

Рассмотрим треугольник $BC{B}_1$. По условию $C{B}_1=CB$, то есть он равнобедренный с основанием $B{B}_1$. Отрезок $CM$ — медиана, проведённая к основанию, поэтому она является также высотой и биссектрисой. Значит, $CM\perp B{B}_1$ и

$$\angle BMC=90^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $CB{C}_1$. По условию $B{C}_1=BC$, он равнобедренный с основанием $C{C}_1$, и его медиана $BN$ является высотой и биссектрисой. Значит, $BN\perp C{C}_1$ и

$$\angle BNC=90^{\circ }.$$

Точки $M$ и $N$ видят отрезок $BC$ под прямым углом. Все такие точки лежат на окружности с диаметром $BC$. Следовательно, точки $B$, $C$, $M$ и $N$ лежат на одной окружности — окружности с диаметром $BC$. Что и требовалось доказать.

б) Сначала выясним вид треугольника $ABC$:

$$A{B}^2+B{C}^2=15^2+8^2=225+64=289=17^2=A{C}^2.$$

По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $ABC$ прямоугольный с прямым углом $B$. Заметим также, что $BC<AC$ и $BC<AB$, поэтому точки $B_1$ и $C_1$ действительно лежат на сторонах $AC$ и $AB$.

Пусть $O$ — точка пересечения отрезков $B{B}_1$ и $C{C}_1$. Требуется найти косинус угла $BOC$.

Обозначим углы треугольника $ABC$ через $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$. В равнобедренном треугольнике $BC{B}_1$ угол при вершине равен $\angle BC{B}_1=\angle C$ (точка $B_1$ лежит на стороне $CA$), а углы при основании равны. По теореме о сумме углов треугольника

$$\angle CB{B}_1=\frac{180^{\circ }-\angle C}{2}=90^{\circ }-\frac{\angle C}{2}.$$

Аналогично в равнобедренном треугольнике $CB{C}_1$ угол при вершине $\angle CB{C}_1=\angle B$, поэтому

$$\angle BC{C}_1=\frac{180^{\circ }-\angle B}{2}=90^{\circ }-\frac{\angle B}{2}.$$

Точка $O$ лежит на отрезках $B{B}_1$ и $C{C}_1$, поэтому $\angle OBC=\angle CB{B}_1$ и $\angle OCB=\angle BC{C}_1$. Из треугольника $BOC$

$$\angle BOC=180^{\circ }-\left(90^{\circ }-\frac{\angle C}{2}\right)-\left(90^{\circ }-\frac{\angle B}{2}\right)=\frac{\angle B+\angle C}{2}.$$

Сумма углов треугольника $ABC$ равна $180^{\circ }$, то есть $\angle B+\angle C=180^{\circ }-\angle A$. Поэтому

$$\angle BOC=\frac{180^{\circ }-\angle A}{2}=90^{\circ }-\frac{\angle A}{2}.$$

Этот угол острый, он и есть угол между отрезками $B{B}_1$ и $C{C}_1$. По формуле приведения

$$\cos \angle BOC=\cos \left(90^{\circ }-\frac{\angle A}{2}\right)=\sin \frac{\angle A}{2}.$$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$$\cos \angle A=\frac{AB}{AC}=\frac{15}{17}.$$

По формуле синуса половинного угла

$${\sin }^2\frac{\angle A}{2}=\frac{1-\cos \angle A}{2}=\frac{1-\frac{15}{17}}{2}=\frac{1}{17}.$$

Угол $\frac{\angle A}{2}$ острый, его синус положителен:

$$\sin \frac{\angle A}{2}=\frac{1}{\sqrt{17}}=\frac{\sqrt{17}}{17}.$$

Значит, $\cos \angle BOC=\frac{\sqrt{17}}{17}$.

Ответ: б) $\frac{\sqrt{17}}{17}$.