ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Отрезок $BF$ — биссектриса треугольника $ABC$. По свойству биссектрисы она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}.$$

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому $\angle ABD=\angle ABC$, и луч $BF$ — биссектриса угла $ABD$. По условию $AB=BD$, то есть треугольник $ABD$ равнобедренный с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является также высотой и медианой. Биссектриса $BF$ пересекает основание $AD$ в точке $E$, значит,

$$BE\perp AD,AE=ED.$$

Итак, $BF\perp AD$ и по условию $CK\perp AD$. Две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны: $BF\parallel CK$.

Уточним расположение точки $K$. Угол $ADB$ — угол при основании равнобедренного треугольника $ABD$, поэтому он острый. Смежный с ним угол $ADC$ тупой, и основание $K$ перпендикуляра, опущенного из $C$ на прямую $AD$, лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$. Точки на прямой $AD$ идут в порядке $A$, $E$, $D$, $K$.

Рассмотрим угол с вершиной $A$, образованный лучами $AC$ и $AK$. Его стороны пересечены параллельными прямыми $FE$ и $CK$: точки $F$ и $C$ лежат на одной стороне угла, точки $E$ и $K$ — на другой. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённой теореме Фалеса)

$$\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EK}.$$

Сравнивая с равенством из свойства биссектрисы, получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AF}{FC}=\frac{AE}{EK}.$$

Что и требовалось доказать.

б) Обозначим $S=S_{ABE}$. В пункте а) мы доказали, что $AE=ED$, то есть $BE$ — медиана треугольника $ABD$. Треугольники $ABE$ и $DBE$ имеют равные основания $AE$ и $ED$ и общую высоту из вершины $B$, поэтому их площади равны:

$$S_{DBE}=S_{ABE}=S.$$

По условию $BD:DC=3:2$. Пусть $BD=3t$, $DC=2t$. Тогда $AB=BD=3t$ и $BC=BD+DC=5t$. По свойству биссектрисы

$$\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}\Rightarrow \frac{AF}{AC}=\frac{3}{8},\frac{CA}{AF}=\frac{8}{3}.$$

Найдём, в каком отношении точка $E$ делит биссектрису $BF$. Прямая $AD$ пересекает сторону $BF$ треугольника $BCF$ в точке $E$, сторону $BC$ — в точке $D$, а продолжение стороны $CF$ — в точке $A$. По теореме Менелая для треугольника $BCF$ и этой прямой

$$\frac{FE}{EB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CA}{AF}=1\Rightarrow \frac{FE}{EB}\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{8}{3}=1\Rightarrow \frac{FE}{EB}=\frac{1}{4}.$$

Значит, $BE:EF=4:1$ и

$$\frac{BF}{BE}=\frac{5}{4}.$$

Треугольники $BCF$ и $BDE$ имеют общий угол при вершине $B$: точка $E$ лежит на луче $BF$, точка $D$ — на луче $BC$. Площади треугольников с равным углом относятся как произведения сторон, заключающих этот угол:

$$\frac{S_{BCF}}{S_{BDE}}=\frac{BF\cdot BC}{BE\cdot BD}=\frac{BF}{BE}\cdot \frac{BC}{BD}=\frac{5}{4}\cdot \frac{5}{3}=\frac{25}{12}\Rightarrow S_{BCF}=\frac{25}{12}S.$$

Четырёхугольник $CDEF$ получается из треугольника $BCF$, если отрезать от него треугольник $BDE$ (точка $E$ лежит на стороне $BF$, точка $D$ — на стороне $BC$). Поэтому

$$S_{CDEF}=S_{BCF}-S_{BDE}=\frac{25}{12}S-S=\frac{13}{12}S.$$

Искомое отношение площадей:

$$\frac{S_{ABE}}{S_{CDEF}}=\frac{S}{\frac{13}{12}S}=\frac{12}{13}.$$

Ответ: б) $\frac{12}{13}$.