ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

Высоты $AH$ и $CT$ проведены к боковым сторонам $BC$ и $AB$, значит, $AC$ — основание и $AB=BC$. Углы при основании равны, обозначим их $\alpha$: $\angle BAC=\angle BCA=\alpha$. Треугольник остроугольный, поэтому основания всех перпендикуляров лежат на сторонах треугольника.

а) Сначала докажем, что $BT=BH$. Прямоугольные треугольники $ATC$ и $CHA$ имеют общую гипотенузу $AC$ и равные острые углы $\angle TAC=\angle HCA=\alpha$, поэтому они равны, и $AT=CH$. Тогда $BT=BA-AT=BC-CH=BH$. Треугольник $BTH$ равнобедренный с тем же углом $B$ при вершине, что и треугольник $ABC$, поэтому его углы при основании тоже равны $\frac{180^{\circ }-\angle B}{2}$:

$$\angle BTH=\alpha .$$

Уточним расположение точек. Из прямоугольных треугольников $BTC$ и $BMH$ имеем $BT=BC\cos B$ и $BM=BH\cos B$. Так как $BH<BC$, то $BM<BT$, и точка $M$ лежит между $B$ и $T$. Поэтому $M$ находится по одну сторону от прямой $CT$ с точкой $B$, а точка $K$ стороны $AC$ — по одну сторону с $A$. Значит, отрезок $MK$ пересекает прямую $CT$, и точка $E$ лежит между $M$ и $K$.

Теперь найдём угол $AMK$. В четырёхугольнике $AMHK$ углы $M$ и $K$ прямые, поэтому точки $M$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $AH$. Вписанные углы $AMK$ и $AHK$ опираются на одну дугу $AK$ (точки $M$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $AC$), поэтому они равны. Из прямоугольных треугольников $AHK$ и $AHC$

$$\angle AHK=90^{\circ }-\angle HAC=\angle HCA=\alpha ,$$

значит, $\angle AMK=\alpha$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $MTH$ (угол $M$ прямой, так как $HM\perp AB$) и $TME$ (угол $T$ прямой, так как $CT\perp AB$). Катет $MT$ у них общий. Прилежащие к нему острые углы равны: точка $M$ лежит на луче $TB$, поэтому $\angle MTH=\angle BTH=\alpha$; точка $T$ лежит на луче $MA$, а $E$ — на луче $MK$, поэтому $\angle TME=\angle AMK=\alpha$. Треугольники равны по катету и прилежащему острому углу, значит, равны и их гипотенузы:

$$TH=ME.$$

Что и требовалось доказать.

б) Пусть $P$ — середина основания $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана $BP$ является высотой, $AP=3$, и по теореме Пифагора

$$BP=\sqrt{A{B}^2-A{P}^2}=\sqrt{25-9}=4.$$

Найдём высоту $AH$, записав площадь треугольника двумя способами:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BP=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4=12,AH=\frac{2S_{ABC}}{BC}=\frac{24}{5}=4,8.$$

Из прямоугольного треугольника $AHC$ по теореме Пифагора

$$CH=\sqrt{A{C}^2-A{H}^2}=\sqrt{36-23,04}=3,6,BH=BC-CH=5-3,6=1,4.$$

По пункту а) $BT=BH$, поэтому $\frac{BT}{BA}=\frac{BH}{BC}$, и треугольник $BTH$ подобен треугольнику $BAC$ (угол $B$ общий). Отсюда

$$\frac{TH}{AC}=\frac{BH}{BC}=\frac{1,4}{5}=\frac{7}{25},TH=\frac{7}{25}\cdot 6=\frac{42}{25}.$$

По пункту а) $ME=TH=\frac{42}{25}$.

Найдём $MK$. Точки $A$, $M$, $H$, $K$ лежат на окружности с диаметром $AH$, и треугольник $AMK$ вписан в неё. По теореме синусов хорда $MK$ равна произведению диаметра на синус вписанного угла $MAK$, то есть угла $BAC$:

$$\sin \angle BAC=\frac{BP}{AB}=\frac{4}{5},MK=AH\cdot \sin \angle BAC=\frac{24}{5}\cdot \frac{4}{5}=\frac{96}{25}.$$

Точка $E$ лежит между $M$ и $K$, поэтому

$$EK=MK-ME=\frac{96}{25}-\frac{42}{25}=\frac{54}{25}=2,16.$$

Ответ: б) $2,16$.