ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Разбор — 3 балла

а) Точка $E$ не совпадает с $C$: иначе окружность прошла бы через точки $C$ и $D$ прямой $CD$ и не могла бы пересечь эту прямую ещё в точке $K$. Значит, $E$ лежит между $B$ и $C$, и $BE<BC=AD$.

Отрезок $BE$ лежит на прямой $BC$, параллельной $AD$, поэтому $ABED$ — трапеция с основаниями $BE$ и $AD$. Она вписана в окружность, а вписанная трапеция равнобедренная. Диагонали равнобедренной трапеции равны:

$$AE=BD.$$

Точка $K$ лежит на прямой $CD$, параллельной $AB$, причём на продолжении $CD$ за точку $D$. Поэтому $ABDK$ — трапеция с основаниями $AB$ и $DK$ и боковыми сторонами $BD$ и $AK$. Она тоже вписана в окружность, значит, равнобедренная, и её боковые стороны равны (если $DK=AB$, то $ABDK$ — вписанный параллелограмм, то есть прямоугольник, и равенство тоже верно):

$$AK=BD.$$

Из двух равенств получаем $AE=AK$. Что и требовалось доказать.

б) В равнобедренной трапеции $ABED$ боковые стороны равны: $DE=AB$. Противоположные стороны параллелограмма равны, $AB=CD$, поэтому $DE=CD$, и треугольник $CDE$ равнобедренный с основанием $CE$.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle BCD=\angle BAD=60^{\circ }$. Точка $E$ лежит на отрезке $BC$, значит, $\angle DCE=60^{\circ }$. Равнобедренный треугольник с углом $60^{\circ }$ при основании равносторонний, поэтому

$$\angle CDE=60^{\circ }.$$

Точка $D$ лежит между $K$ и $C$, поэтому углы $KDE$ и $CDE$ смежные:

$$\angle KDE=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }.$$

Пусть $R$ — радиус окружности. Треугольники $KDE$ и $ABD$ вписаны в неё, по теореме синусов

$$KE=2R\sin \angle KDE=2R\sin 120^{\circ },BD=2R\sin \angle BAD=2R\sin 60^{\circ }.$$

Так как $\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }$, получаем $KE=BD$, то есть $KE:BD=1$.

Ответ: б) $1$.