ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — треугольники

Разбор — 3 балла

а) Луч $AP$ — биссектриса угла $BAC$, поэтому $\angle CAP=\angle PAB$. Это вписанные углы, опирающиеся на дуги $CP$ и $PB$. Равные вписанные углы опираются на равные дуги, а равные дуги стягиваются равными хордами:

$$\stackrel{⌣}{\mathrm{CP}}=\stackrel{⌣}{\mathrm{PB}}\Rightarrow CP=PB.$$

Значит, треугольник $BCP$ равнобедренный. Что и требовалось доказать.

б) По теореме синусов для треугольника $ABC$

$$\frac{BC}{\sin \angle A}=2R\Rightarrow \sin \angle A=\frac{BC}{2R}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}.$$

Угол $C$ тупой, поэтому угол $A$ острый, и $\angle A=30^{\circ }$.

Уточним расположение точек. Угол $C$ тупой, поэтому основание $H$ высоты $BH$ лежит на продолжении стороны $AC$ за точку $C$, то есть по другую сторону от прямой $BC$, чем $A$. Биссектриса угла $A$ пересекает описанную окружность в середине дуги $BC$, не содержащей $A$, поэтому $P$ тоже лежит по другую сторону от $BC$, чем $A$. Точки $P$ и $H$ лежат на одной прямой с $B$ и по одну сторону от $BC$, значит, лучи $BP$ и $BH$ совпадают. Кроме того, точки идут по окружности в порядке $A$, $C$, $P$, $B$.

Четырёхугольник $ACPB$ вписанный, сумма его противоположных углов $A$ и $P$ равна $180^{\circ }$:

$$\angle CPB=180^{\circ }-\angle CAB=150^{\circ }.$$

Треугольник $PCB$ равнобедренный (пункт а)), его углы при основании $CB$ равны:

$$\angle PBC=\angle PCB=\frac{180^{\circ }-150^{\circ }}{2}=15^{\circ }.$$

Лучи $BP$ и $BH$ совпадают, поэтому $\angle HBC=15^{\circ }$. В прямоугольном треугольнике $HCB$ (угол $H$ прямой)

$$\angle HCB=90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }.$$

Углы $ACB$ и $HCB$ смежные, так как $H$ лежит на продолжении $AC$ за точку $C$:

$$\angle ACB=180^{\circ }-75^{\circ }=105^{\circ },\angle ABC=180^{\circ }-105^{\circ }-30^{\circ }=45^{\circ }.$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$

$$\frac{AC}{\sin \angle ABC}=2R\Rightarrow AC=2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=4.$$

Ответ: б) $4$.