Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С ₁ и В ₁ соответственно. а) Докажите, что… — 18 задание ЕГЭ профиль

№18 Окружности сложная развёрнутое

Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках С $_{1}$ и В $_{1}$ соответственно.

а) Докажите, что треугольник АВC подобен треугольнику АВ $_{1}$ С $_{1}$

б) Вычислите длину стороны В $_{1}$ С $_{1}$ и радиус данной окружности, если $∠ A = 15 0^{\circ}$ , $B C = 55$ и площадь треугольника АВ $_{1}$ С $_{1}$ в четыре раза меньше площади четырёхугольника ВСВ $_{1}$ С $_{1}$ .

Развёрнутое задание второй части — реши на бумаге и сверься с разбором

Разбор — 3 балла

Окружность через B, C, B₁, C₁

а) Точки $B$ , $C$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ лежат на одной окружности, поэтому четырёхугольник $B C B_{1} C_{1}$ вписанный, и сумма его противоположных углов $B$ и $B_{1}$ равна $18 0^{\circ}$ :

$∠ C_{1} B C + ∠ C B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} .$

Точка $B_{1}$ лежит на стороне $A C$ , поэтому углы $A B_{1} C_{1}$ и $C B_{1} C_{1}$ смежные: $∠ A B_{1} C_{1} = 18 0^{\circ} - ∠ C B_{1} C_{1}$ . Отсюда

$∠ A B_{1} C_{1} = ∠ C_{1} B C = ∠ A B C .$

Угол $A$ у треугольников $A B C$ и $A B_{1} C_{1}$ общий. Значит, они подобны по двум углам, причём вершине $B$ соответствует $B_{1}$ , а вершине $C$ — $C_{1}$ . Что и требовалось доказать.

б) Площадь треугольника $A B C$ складывается из площадей треугольника $A B_{1} C_{1}$ и четырёхугольника $B C B_{1} C_{1}$ :

$S_{A B C} = S_{A B_{1} C_{1}} + 4 S_{A B_{1} C_{1}} = 5 S_{A B_{1} C_{1}} .$

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому коэффициент равен $k = 5$ , и

$B_{1} C_{1} = \frac{B C}{k} = \frac{5 5}{5} = 5.$

Пусть $R$ — радиус окружности, $φ = ∠ A B B_{1}$ . Треугольник $B C_{1} B_{1}$ вписан в окружность, и $∠ C_{1} B B_{1} = ∠ A B B_{1} = φ$ (точка $C_{1}$ лежит на отрезке $A B$ ). По теореме синусов

$B_{1} C_{1} = 2 R sin φ .$

Треугольник $B B_{1} C$ тоже вписан в эту окружность. Его угол $B B_{1} C$ — внешний угол треугольника $A B B_{1}$ при вершине $B_{1}$ , он равен сумме двух углов, не смежных с ним:

$∠ B B_{1} C = ∠ B A B_{1} + ∠ A B B_{1} = 15 0^{\circ} + φ, B C = 2 R sin (15 0^{\circ} + φ) .$

Угол $15 0^{\circ} + φ$ меньше $18 0^{\circ}$ , поэтому $0^{\circ} < φ < 3 0^{\circ}$ . Разделим второе равенство на первое:

$\frac{sin ( 15 0 ^{\circ} + φ )}{sin φ} = \frac{B C}{B _{1} C _{1}} = 5 .$

По формуле синуса суммы $sin (15 0^{\circ} + φ) = \frac{1}{2} cos φ - \frac{3}{2} sin φ$ , поэтому

$\frac{1}{2} ctg φ - \frac{3}{2} = 5 \Rightarrow ctg φ = 25 + 3 .$

Воспользуемся тождеством $1 + ctg^{2} φ = \frac{1}{sin ^{2} φ}$ :

$\frac{1}{sin ^{2} φ} = 1 + (25 + 3)^{2} = 1 + 20 + 415 + 3 = 24 + 415 .$

Так как $sin φ > 0$ , то $\frac{1}{sin φ} = 24 + 415 = 2 6 + 15$ , и

$R = \frac{B _{1} C _{1}}{2 sin φ} = \frac{5}{2} \cdot 2 6 + 15 = 5 6 + 15 .$

Ответ: б) $B_{1} C_{1} = 5$ , $R = 5 6 + 15$ .

ЕГЭ по профильной математике 2027 Задание №18 — окружности

Сообщить об ошибке

Ещё задания №18